Question

【题目】已知直线y=kx+1经过点M（d，﹣2）和点N（1，2），交y轴于点H，交x轴于点F．

（1）求d的值；

（2）将直线MN绕点M顺时针旋转45°得到直线ME，点Q（3，e）在直线ME上，①证明ME∥x轴；②试求过M、N、Q三点的抛物线的解析式；

（3）在（2）的条件下，连接NQ，作△NMQ的高NB，点A为MN上的一个动点，若BA将△NMQ的面积分为1：2两部分，且射线BA交过M、N、Q三点的抛物线于点C，试求点C的坐标．

Answer 1

【答案】（1）d=﹣3；

（2）①证明见解析，

②y=﹣x2+；

（3）点C的坐标为（1﹣2，2﹣2）和（1，2）．

【解析】

试题分析：（1）把点N（1，2）代入y=kx+1，得k，再把M点坐标代入已知直线解析式得d；

（2）由（1）可知直线MN：y=x+1与x轴夹角为45°，将直线MN绕点M顺时针旋转45°得到直线ME，此时ME∥x轴；由此可以判断点Q的纵坐标与点M相同，e=﹣2，已知M、N、Q三点坐标，可求抛物线解析式；

（3）有两种可能，即S△AMB=S△NMQ或S△AMB=S△NMQ；△NMQ的面积为已知，线段MB长已知，可求点A到BM的距离，又点A在直线MN上，可求点A坐标，用“两点法”求直线AB解析式，再与抛物线解析式联立，可求C点坐标．

试题解析：（1）把点N（1，2）代入y=kx+1，得k=1

∴y=x+1

∵点M（d，﹣2）在直线y=x+1上

∴d=﹣3

（2）①∵y=x+1分别交x轴、y轴于点F、H．

∴F（﹣1，0），H（0，1），

∴OF=OH=1

∴∠HFO=∠NME=45°，

∴ME∥x轴

②又∵点Q（3，e）在直线ME上，

∴Q（3，﹣2）

设过M（﹣3，﹣2），N（1，2），Q（3，﹣2）的抛物线为y=ax2+bx+c

代入三个点的坐标得

解得

∴y=﹣x2+

（3）设A（m，n），A到MQ的距离为h，则

S△AMB=S△NMQ或S△AMB=S△NMQ

当S△AMB=S△NMQ时，得MBh=×MQNB ①

∵NB是△NMQ的高，

∴B（1，﹣2）

∴MB=4，MQ=6，NB=4

∴由①式得h=2，

∴n=2﹣2=0，m=﹣1

∴A（﹣1，0）

设直线AB的解析式为y=kx+b，代入A（﹣1，0）和B（1，﹣2），得k=﹣1，b=﹣1

解方程组

得（舍去）

∴C（1﹣2，2﹣2）

当S△AMB=S△NMQ时，可得h=4，n=2，m=1

此时点A（1，2）为满足条件的点

综上可知，所求点C的坐标为（1﹣2，2﹣2）和（1，2）．