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    如图，在矩形OABC中，已知A、C两点的坐标分别为A（4，0）、C（0，2），D为OA的中点．设点P是∠AOC平分线上的一个动点（不与点O重合）。

    （1）试证明：无论点P运动到何处，PC总与PD相等；
    （2）当点P运动到与点B的距离最小时，试确定过O、P、D三点的抛物线的解析式；
    （3）设点E是（2）中所确定抛物线的顶点，当点P运动到何处时，△PDE的周长最小？求出此时点P的坐标和△PDE的周长；
    （4）设点N是矩形OABC的对称中心，是否存在点P，使∠CPN=90°？若存在，请直接写出点P的坐标。
    解：（1）∵点D是OA的中点
    ∴OD=2，
    ∴OD=OC
    又∵OP是∠COD的角平分线，
    ∴∠POC=∠POD=45°，
    ∴△POC≌△POD，
    ∴PC=PD。
    （2）过点B作∠AOC的平分线的垂线，垂足为P，点P即为所求
    易知点F的坐标为（2，2），故BF=2，作PM⊥BF，
    ∵△PBF是等腰直角三角形，
    ∴PM=BF=1，
    ∴点P的坐标为（3，3）
    ∵抛物线经过原点，
    ∴设抛物线的解析式为y=ax2+bx
    又∵抛物线经过点P（3，3）和点D（2，0），
    ∴有
    解得
    ∴抛物线的解析式为。
    （3）由等腰直角三角形的对称性知D点关于∠AOC的平分线的对称点即为C点
    连接EC，它与∠AOC的平分线的交点即为所求的P点（因为PE+PD=EC，而两点之间线段最短），
    此时△PED的周长最小
    ∵抛物线y=x2-2x的顶点E的坐标（1，-1），C点的坐标（0，2），
    设CE所在直线的解析式为y=kx+b
    则有
    解得
    ∴CE所在直线的解析式为y=-3x+2
    点P满足
    解得
    故点P的坐标为
    △PED的周长即是。
    （4）存在点P，使∠CPN=90度，其坐标是或。
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    如图，在矩形OABC中，已知A、C两点的坐标分别为A（4，0）、C（0，2），D为OA的中点．设点这P是∠AOC平分线上的一个动点（不与点O重合）．
    （1）填空：无论点P运动到何处，PC
     
    PD（填“＞”、“＜”或“=”）；
    （2）当点P运动到与点B的距离最小时，试确定过O、P、D三点的抛物线的解析式；
    （3）设点E是（2）中所确定抛物线的顶点，当点P运动到何处时，△PDE的周长最小？求精英家教网出此时点P的坐标和△PDE的周长．

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    如图，在矩形OABC中，已知A、C两点的坐标分别为A（4，0）、C（0，2），D为OA的中点．设点P是∠AOC精英家教网平分线上的一个动点（不与点O重合）．
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    （2）当点P运动到与点B的距离最小时，试确定过O、P、D三点的抛物线的解析式；
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    （4）设点N是矩形OABC的对称中心，是否存在点P，使∠CPN=90°？若存在，请直接写出点P的坐标．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    如图，在矩形OABC中，AB∥x轴．函数y=
    1x
    (x＞0)    的图象分别交AB、BC边于P、Q两点，且P是精英家教网AB的中点，设点P的横坐标为a．
    （1）用含a的代数式表示点Q的坐标．
    （2）试说明点Q是BC的中点．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    （2012•莆田质检）如图，在矩形OABC中，OA、OC两边分别在x轴、y轴的正半轴上，OA=3，OC=2，过OA边上的D点，沿着BD翻折△ABD，点A恰好落在BC边上的点E处，反比例函数y=
    kx
    （k＞0）在第一象限上的图象经过点E与BD相交于点F．
    （1）求证：四边形ABED是正方形；
    （2）点F是否为正方形ABED的中心？请说明理由．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    （2013•永春县质检）如图，在矩形OABC中，点A、C的坐标分别是（a，0），（0，
    		3
    ），点D是线段BC上的动点（与B、C不重合），过点D作直线l：y=-
    		3
    x+b    交线段OA于点E．
    （1）直接写出矩形OABC的面积（用含a的代数式表示）；
    （2）已知a=3，当直线l将矩形OABC分成周长相等的两部分时
    ①求b的值；
    ②梯形ABDE的内部有一点P，当⊙P与AB、AE、ED都相切时，求⊙P的半径．
    （3）已知a=5，若矩形OABC关于直线DE的对称图形为四边形O1A1B1C1，设CD=k，当k满足什么条件时，使矩形OABC和四边形O1A1B1C1的重叠部分的面积为定值，并求出该定值．

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