Question

17．如图，已知抛物线y=ax²+bx+3与x轴交于A、B两点，过点A的直线l与抛物线交于点C，其中A点的坐标是（1，0），C点坐标是（4，3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）设直线l与y轴交于点D，抛物线交y轴于点E，则△DBE的面积是多少？

Answer 1

分析 （1）把A点和C点坐标代入y=ax²+bx+3可得到关于a、b的方程组，然后解方程求出a、b即可得到抛物线解析式；
（2）先利用待定系数法求出直线l的解析式，再利用坐标轴上点的坐标特征求出D、E、A、B的坐标，然后根据三角形面积公式求解．

解答 解：（1）∵抛物线y=ax²+bx+3经过点A（1，0），点C（4，3），
∴$\left\{\begin{array}{l}{a+b+3=0}\\{16a+4b+3=3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=-4}\end{array}\right.$
所以抛物线的解析式为y=x²-4x+3；
（2）设直线l的解析式为y=kx+m（k≠0），
把A（1，0），点C（4，3）代入得$\left\{\begin{array}{l}{k+m=0}\\{4k+m=3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{m=-1}\end{array}\right.$，
∴直线l的解析式为y=x-1，
当x=0时，y=x-1=-1，则D（0-1），
当x=0时，y=x²-4x+3=3，则E（0，3），当y=0时，x²-4x+3=3，解得x₁=1，x₂=3，则B（3，0），
∴△DBE的面积=$\frac{1}{2}$×（3+1）×3=6．

点评 本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．