Question

2．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=ax²+bx+c的图象经过点A（-6，0），点B（4，0），点C（0，-8），直线y=-$\frac{4}{3}$x-4与x、y轴交于点D、E．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）如图所示，点P是直角三角形ODE的两个锐角平分线的交点，求证：∠PDO+∠PEO=45°；
（3）若在x轴上有一点H，满足2∠HEB=∠DEO，求点H的坐标；
（4）若M为x轴下方抛物线上一点，过M作y轴的平行线交直线DE于点N，点F是点N关于直线ME的对称点，是否存在点M，使得点F落在y轴上？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）把A（-6，0），B（4，0），C（0，-8）的坐标代入y=ax²+bx+c，列出方程组，解方程组即可．
（2）根据直角三角形两锐角互余以及角平分线的定义，即可证明．
（3）如图1中，作DP的延长线交y轴于N，作NM⊥DE于M．首先证明∠ODN=∠H₁EO，根据tan∠H₁EO=tan∠ODN列出方程即可求解，注意两种情形．
（4）分三种情形①当EM₁平分∠N₁EF₁时，点F₁落在y轴上，②当EM平分∠NEF时，点F落在y轴上，③当EM₂平分∠N₂EF₂时，点F₂落在y轴上，
根据MN=EN，分别列出方程求解即可．

解答 解：（1）把A（-6，0），B（4，0），C（0，-8）的坐标代入y=ax²+bx+c得到$\left\{\begin{array}{l}{c=-8}\\{36a-6b+c=0}\\{16a+4b+c=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{3}}\\{b=\frac{2}{3}}\\{c=-8}\end{array}\right.$，
∴抛物线的解析式为y=$\frac{1}{3}$x²+$\frac{2}{3}$x-8．

（2）∵∠DOE=90°，
∴∠ODE+∠OED=90°，
∵∠PDO=$\frac{1}{2}$∠ODE，∠PEO=$\frac{1}{2}$∠DEO，
∴∠PDO+∠PEO=$\frac{1}{2}$（∠ODE+∠OED）=45°．

（3）如图1中，作DP的延长线交y轴于N，作NM⊥DE于M．

由题意D（-3，0），E（0，-4），
∵∠NDO=∠NDM，NO⊥DO，NM⊥DM，
∴ON=NM，设ON=MN=x，易知DO=DM=3，DE=5，EM=2
在Rt△NME中，∵EN²=NM²+EM²，
∴（4-x）²=x²+2²，
∴x=$\frac{3}{2}$，
∴ON=$\frac{3}{2}$，
∵OE=OB=4，
∴∠OEB=∠OBE=45°，
∵∠H₁EB+∠H₁EO=45°，$\frac{1}{2}$∠DEO+∠ODN=45°，2∠H₁EB=∠DEO，
∴∠ODN=∠H₁EO，
∴tan∠H₁EO=tan∠ODN=$\frac{ON}{OD}$=$\frac{\frac{3}{2}}{3}$=$\frac{1}{2}$=$\frac{O{H}_{1}}{OE}$，
∴OH₁=2，
∴点H₁坐标为（2，0）．
当∠H₂EB=$\frac{1}{2}$∠DEO时，同理可证，∠EH₂O=∠ODN，
∴tan∠EH₂O=$\frac{1}{2}$=$\frac{OE}{O{H}_{2}}$，
∴OH₂=8，
∴点H₂坐标为（8，0），
综上所述，满足条件的点H坐标为（2，0）或（8，0）．

（4）存在．理由如下：
如图2中，设M（m，$\frac{1}{3}$m²+$\frac{2}{3}$m-8），则N（m，-$\frac{4}{3}$m-4）．

①当EM₁平分∠N₁EF₁时，点F₁落在y轴上，
∵M₁N₁∥y轴，
∴∠N₁M₁E=∠M₁EF₁=∠M₁EN₁，
∴M₁N₁=EN₁，
∴-$\frac{4}{3}$m-4-（$\frac{1}{3}$m²+$\frac{2}{3}$m-8）=-$\frac{5}{3}$m，
解得m=-4或3（舍弃），
∴M₁（-4，-$\frac{16}{3}$）．
②当EM平分∠NEF时，点F落在y轴上，
由MN=EN，
∴-$\frac{4}{3}$m-4-（$\frac{1}{3}$m²+$\frac{2}{3}$m-8）=$\frac{5}{3}$m，
解得m=1或-12（舍弃），
∴M（1，-7）．
③当EM₂平分∠N₂EF₂时，点F₂落在y轴上，
由M₂N₂=EN₂，
∴（$\frac{1}{3}$m²+$\frac{2}{3}$m-8）-（-$\frac{4}{3}$m-4）=$\frac{5}{3}$m，
解得m=3或-4（舍弃），
∴M₂（3，-3）．
综上所述，满足条件的点M坐标为（-4，-$\frac{16}{3}$）或（1，-7）或（3，-3）．

点评 本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求二次函数的解析式，三角形的内心，勾股定理的应用，三角形相似的判定和性质，解题的关键是灵活运用所学知识，学会用分类讨论的思想思考问题，学会把问题转化为方程解决，体现了数形结合思想，属于中考压轴题．