Question

14．如图，直角三角形纸板ABP的直角顶点P在直线l上，AP=3，BP=4，分别作AC⊥l于点C，BD⊥l于点D，若将三角形纸板在平面内绕点P旋转（点C、D、P互不重合），请直接写出旋转过程中线段CD、AC、BD的数量关系．

Answer 1

分析 先根据∠ACP=∠PDB=90°，∠CAP=∠DPB，判定△ACP∽△PDB，进而得出$\frac{AC}{PD}$=$\frac{CP}{DB}$=$\frac{AP}{PB}$=$\frac{3}{4}$，即可得到CP=$\frac{3}{4}$BD，DP=$\frac{4}{3}$AC，再根据CD=CP+PD，即可得出CD=$\frac{3}{4}$BD+$\frac{4}{3}$AC；若点A和点B在直线l异侧，运用同样的方法，即可得出结论．

解答 解：如图所示，∵AC⊥l于点C，BD⊥l于点D，
∴∠ACP=∠PDB=90°，
∵∠APB=90°，
∴∠CAP=∠DPB，
∴△ACP∽△PDB，
∴$\frac{AC}{PD}$=$\frac{CP}{DB}$=$\frac{AP}{PB}$=$\frac{3}{4}$，
∴CP=$\frac{3}{4}$BD，DP=$\frac{4}{3}$AC，
∵CD=CP+PD，
∴CD=$\frac{3}{4}$BD+$\frac{4}{3}$AC；
当点A和点B在直线l异侧时，
同理可得，CP=$\frac{3}{4}$BD，DP=$\frac{4}{3}$AC，
若CP＜DP，则CD=PD-CP，
∴CD=$\frac{4}{3}$AC-$\frac{3}{4}$BD；
若DP＜CP，则CD=CP-PD，
∴CD=$\frac{3}{4}$BD-$\frac{4}{3}$AC．
综上所述，当点A和点B在直线l同侧时，CD=$\frac{3}{4}$BD+$\frac{4}{3}$AC；当点A和点B在直线l异侧时，CD=|$\frac{3}{4}$BD-$\frac{4}{3}$AC|．

点评 本题主要考查了旋转的性质，相似三角形的判定与性质的运用，解决问题的关键是根据相似三角形的对应边成比例，求得线段之间的数量关系．解题时注意分类思想的运用．