精英家教网 > 初中数学 > 题目详情

(2013年四川资阳12分)如图,四边形ABCD是平行四边形,过点A、C、D作抛物线y=ax2+bx+c(a≠0),与x轴的另一交点为E,连结CE,点A、B、D的坐标分别为(﹣2,0)、(3,0)、(0,4).

(1)求抛物线的解析式;
(2)已知抛物线的对称轴l交x轴于点F,交线段CD于点K,点M、N分别是直线l和x轴上的动点,连结MN,当线段MN恰好被BC垂直平分时,求点N的坐标;
(3)在满足(2)的条件下,过点M作一条直线,使之将四边形AECD的面积分为3:4的两部分,求出该直线的解析式.

解:(1)∵点A、B、D的坐标分别为(﹣2,0)、(3,0)、(0,4),且四边形ABCD是平行四边形,
∴AB=CD=5。∴点C的坐标为(5,4)。
∵抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)过点A、C、D,
,解得]
∴抛物线的解析式为
(2)连接BD交对称轴于G,

在Rt△OBD中,易求BD=5,
∴CD=BD,则∠DCB=∠DBC。
又∵∠DCB=∠CBE,∴∠DBC=∠CBE。
过G作GN⊥BC于H,交x轴于N,易证GH=HN,
∴点G与点M重合。
∴直线BD的解析式。 
根据抛物线可知对称轴方程为x=
则点M的坐标为(),即GF= MF=,BF=

又∵MN被BC垂直平分,∴BM=BN=。∴BN=OB+BN=3+
∴点N的坐标为(,0)。
(3)过点M作直线交x轴于点P1
易求四边形AECD的面积为28,四边形ABCD的面积为20,
由“四边形AECD的面积分为3:4”可知直线P1M必与线段CD相交,
设交点为Q1,四边形AP1Q1D的面积为S1,四边形P1ECQ1的面积为S2,点P1的坐标为(a,0),则S2=12。
若点P在对称轴的左侧,则P1F=﹣a,P1E=7﹣a,
由△MKQ1∽△MFP1,得。∴Q1K=5P1F=5(﹣a)。
∴CQ1=﹣5(﹣a)=5a﹣10。
。∴
根据P1,0),M()可求直线P1M的解析式为
若点P在对称轴的右侧,同理可得直线P2M的解析式为
综上所述,该直线的解析式为

解析

练习册系列答案
相关习题

科目:初中数学 来源: 题型:解答题

如图,在△ABC中,∠C=90°,BC=3,AB=5.点P从点B出发,以每秒1个单位长度沿B→C→A→B的方向运动;点Q从点C出发,以每秒2个单位沿C→A→B方向的运动,到达点B后立即原速返回,若P、Q两点同时运动,相遇后同时停止,设运动时间为t秒.

(1)当t=     时,点P与点Q相遇;
(2)在点P从点B到点C的运动过程中,当ι为何值时,△PCQ为等腰三角形?
(3)在点Q从点B返回点A的运动过程中,设△PCQ的面积为s平方单位.
①求s与ι之间的函数关系式;
②当s最大时,过点P作直线交AB于点D,将△ABC中沿直线PD折叠,使点A落在直线PC上,求折叠后的
△APD与△PCQ重叠部分的面积.

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:解答题

如图,已知抛物线y=ax2+bx﹣4经过A(﹣8,0),B(2,0)两点,直线x=﹣4交x轴于点C,交抛物线于点D.

(1)求该抛物线的解析式;
(2)点P在抛物线上,点E在直线x=﹣4上,若以A,O,E,P为顶点的四边形是平行四边形,求点P的坐标;
(3)若B,D,C三点到同一条直线的距离分别是d1,d2,d3,问是否存在直线l,使?若存在,请直接写出d3的值;若不存在,请说明理由.

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:解答题

如图,已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点坐标为(4,),且与y轴交于点C(0,2),与x轴交于A,B两点(点A在点B的左边).

(1)求抛物线的解析式及A,B两点的坐标;
(2)在(1)中抛物线的对称轴l上是否存在一点P,使AP+CP的值最小?若存在,求AP+CP的最小值,若不存在,请说明理由;
(3)在以AB为直径的⊙M相切于点E,CE交x轴于点D,求直线CE的解析式.

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:解答题

已知:直线过抛物线的顶点P,如图所示.

(1)顶点P的坐标是     
(2)若直线y=ax+b经过另一点A(0,11),求出该直线的表达式;
(3)在(2)的条件下,若有一条直线y=mx+n与直线y=ax+b关于x轴成轴对称,求直线y=mx+n与抛物线的交点坐标.

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:解答题

如图,抛物线y=ax2+b与x轴交于点A、B,且A点的坐标为(1,0),与y轴交于点C(0,1).

(1)求抛物线的解析式,并求出点B坐标;
(2)过点B作BD∥CA交抛物线于点D,连接BC、CA、AD,求四边形ABCD的周长;(结果保留根号)
(3)在x轴上方的抛物线上是否存在点P,过点P作PE垂直于x轴,垂足为点E,使以B、P、E为顶点的三角形与△CBD相似?若存在请求出P点的坐标;若不存在,请说明理由.

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:解答题

如图,已知直线y=3x﹣3分别交x轴、y轴于A、B两点,抛物线y=x2+bx+c经过A、B两点,点C是抛物线与x轴的另一个交点(与A点不重合).

(1)求抛物线的解析式;
(2)求△ABC的面积;
(3)在抛物线的对称轴上,是否存在点M,使△ABM为等腰三角形?若不存在,请说明理由;若存在,求出点M的坐标.

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:解答题

如图,抛物线y=x2+bx+c过点A(﹣4,﹣3),与y轴交于点B,对称轴是x=﹣3,请解答下列问题:

(1)求抛物线的解析式.
(2)若和x轴平行的直线与抛物线交于C,D两点,点C在对称轴左侧,且CD=8,求△BCD的面积.
注:抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴是

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:解答题

如图,抛物线与直线交于C,D两点,其中点C在y轴上,点D的坐标为。点P是y轴右侧的抛物线上一动点,过点P作PE⊥x轴于点E,交CD于点F.

(1)求抛物线的解析式;
(2)若点P的横坐标为m,当m为何值时,以O,C,P,F为顶点的四边形是平行四边形?请说明理由;
(3)若存在点P,使∠PCF=450,请直接写出相应的点P的坐标。

查看答案和解析>>

同步练习册答案