Question

如图，AB是⊙O的直径，AB=6，D是⊙O上的动点（不同于A、B），过O作OC∥AD交过B点⊙O的切线于点C．
（1）求证：CD与⊙O相切；
（2）设AD=x，OC=y，求y关于x的函数关系式；
（3）当AD=2时，求sin∠ACO的值．

Answer 1

考点：圆的综合题

专题：

分析：（1）先连接OD，得出∠1=∠3，∠2=∠DAO，根据∠3=∠DAO，得出∠1=∠2．从而证出△COD≌△COB，∠ODC=∠OBC，最后根据∠OBC=90°，得出∠ODC=90°，从而证出CD是⊙O的切线；
（2）连接DB，先证出∠ADB=90°，再根据∠COB=∠BAD，得出△ABD∽△OCB，证出

x

6

=

3

y

，即可得出答案；
（3）作OH⊥AC于H，求出OC=9，再根据BC=

OC2-OB2

，AC=

AB2-BC2

求出BC、AC，再根据△AOH∽△ACB，得出

OH

CB

=

AO

AC

，

OH

6 2

=

3

6 3

，求出OH，从而求出sin∠ACO．

解答：（1）证明：连接OD，
∵OC∥AD，
∴∠1=∠3，∠2=∠DAO，
∵OA=OD，
∴∠3=∠DAO，
∴∠1=∠2．
在△COD和△COB中，

OD=OB ∠1=∠2 OC=OC

，
∴△COD≌△COB（SAS），
∴∠ODC=∠OBC．
∵CB切⊙O于B，
∴∠OBC=90°，
∴∠ODC=90°，OD⊥CD
∴CD是⊙O的切线．

（2）解：连接DB，
∵AB是直径，
∴∠ADB=90°．
∵∠COB=∠BAD，
∴△ABD∽△OCB，
∴

AD

AB

=

OB

OC

，
∴

x

6

=

3

y

，
∴y=

18

x

．

（3）解：作OH⊥AC于H，
由（2）得，OC=18÷2=9，
在△OCB中，
∵∠OBC=90°，
∴BC=

OC2-OB2

=

92-32

=6

2

．
在△ABC中，
∵∠ABC=90°，
∴AC=

AB2-BC2

=

62+72

=6

3

．
由△AOH∽△ACB，得

OH

CB

=

AO

AC

，
即

OH

6 2

=

3

6 3

，
解得：OH=

6

，
则sin∠ACO=

OH

OC

=

6

9

．

点评：此题考查圆的综合，用到的知识点是勾股定理、圆的有关性质、相似三角形和全等三角形的判定与性质、切线的判定，关键是作出辅助线构造直角三角形．