Question

如图，矩形ABCD中，∠ADB=30°，AB=．动点P从A点出发沿AD方向运动，速度为每秒3个单位，终点是点D；动点Q从C点出发沿CB方向运动，速度为每秒1个单位，终点是点B． 若P、Q两点同时出发，出发时间为t秒，点P、点Q中有一点停止运动，另一点也随之而停止运动．分别以P、Q为圆心，PA、QC为半径作⊙P和⊙Q．
（1）填空：AD的长为________；
（2）当⊙P与直线BD相切时，
①用直尺和圆规在图①中作出⊙P（保留作图痕迹，不写作法）；
②求出此时t的值．
（3）求t为何值时，⊙P与⊙Q相切？

Answer 1

解：（1）∵∠ADB=30°，AB=．
∴AD=AB÷tan30°=2÷=6；

（2）①作图正确
②由①作图可知∠PBD=∠ADB=30°，AP=3t，则PB=PD=6-3t
在Rt△PAB中AB²+AP²=PB²
根据题意得
解得；


（3）如图②⊙P与⊙Q外切时，过点P作PM⊥BC垂足为M，PQ=3t+t=4t，MQ=6-4t
则得
解得t=1；
如图③⊙P与⊙Q内切时，过点P作PN⊥BC垂足为N，PQ=3t-t=2t，
NQ=CQ-CN=t-（6-3t）=4t-6
则得
解得t=2．（11分）
综合所得，当t=1或2时⊙P与⊙Q相切．
分析：（1）在直角三角形ADB中，利用30°的正切值即可求得AD的长；
（2）由作图可知∠PBD=∠ADB=30°，表示出AP=3t，则PB=PD=6-3t然后在Rt△PAB中利用AB²+AP²=PB²得，求得t值即可；
（3）当⊙P与⊙Q外切时，过点P作PM⊥BC足为M，PQ=3t+t=4t，MQ=6-4t，利用勾股定理求得t值，当⊙P与⊙Q内切时，过点P作PN⊥BC垂足为N，PQ=3t-t=2t，
NQ=CQ-CN=t-（6-3t），利用勾股定理求得t值即可．
点评：本题考查了相切两圆的性质及勾股定理等知识，是一道综合性很强的题目．