Question

14．已知，△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，E为边AC任意一点，连接BE．
（1）如图1，若∠ABE=15°，O为BE中点，连接AO，且AO=1，求BC的长；
（2）如图2，F也为AC上一点，且满足AE=CF，过A作AD⊥BE交BE于点H，交BC于点D，连接DF交BE于点G，连接AG；
①若AG平分∠CAD，求证：AH=$\frac{1}{2}$AC；
②如图3，当G落在△ABC外时，若将△EFG沿EF边翻折，点G刚好落在AB边上点P，试猜想AG与EF的数量关系，不需证明．

Answer 1

分析 （1）如图1中，在AB上取一点M，使得BM=ME，连接ME．，设AE=x，则ME=BM=2x，AM=$\sqrt{3}$x，根据AB²+AE²=BE²，可得方程（2x+$\sqrt{3}$x）²+x²=2²，解方程即可解决问题．
（2）如图2中，作CP⊥AC，交AD的延长线于P，GM⊥AC于M．首先证明AM=MC，再证明AH=AM即可解决问题．
（3）结论：AG=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$EF．如图3中，作CM⊥AC交AD的延长线于M，连接PG交AC于点O．首先证明四边形EGFP是菱形，推出PG⊥AC，OE=OF，由AE=CF，推出AO=OC，由AB∥OP，推出BP=PC，由PF∥BE，推出EF=CF=AE，由PB=PC，AO=OC，
推出PO=OG=$\frac{1}{2}$AB，推出AB=PG，AB∥PG，推出四边形ABPG是平行四边形，推出AG∥BC，推出∠GAO=∠ACB=45°，设EO=OF=a，则OA=OG=3a，AG=3$\sqrt{2}$a，由此即可解决问题．

解答 （1）解：如图1中，在AB上取一点M，使得BM=ME，连接ME．

在Rt△ABE中，∵OB=OE，
∴BE=2OA=2，
∵MB=ME，
∴∠MBE=∠MEB=15°，
∴∠AME=∠MBE+∠MEB=30°，设AE=x，则ME=BM=2x，AM=$\sqrt{3}$x，
∵AB²+AE²=BE²，
∴（2x+$\sqrt{3}$x）²+x²=2²，
∴x=$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}$（负根已经舍弃），
∴AB=AC=（2+$\sqrt{3}$）•$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}$，
∴BC=$\sqrt{2}$AB=$\sqrt{3}$+1．

（2）证明：如图2中，作CP⊥AC，交AD的延长线于P，GM⊥AC于M．

∵BE⊥AP，
∴∠AHB=90°，
∴∠ABH+∠BAH=90°，
∵∠BAH+∠PAC=90°，
∴∠ABE=∠PAC，
在△ABE和△CAP中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ABE=∠PAC}\\{AB=AC}\\{∠BAE=∠ACP=90°}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△CAP，
∴AE=CP=CF，∠AEB=∠P，
在△DCF和△DCP中，
$\left\{\begin{array}{l}{CD=CD}\\{∠DCF=∠DCP}\\{CF=CP}\end{array}\right.$，
∴△DCF≌△DCP，
∴∠DFC=∠P，
∴∠GFE=∠GEF，
∴GE=GF，∵GM⊥EF，
∴FM=ME，
∵AE=CF，
∴AF=CE，
∴AM=CM，
在△GAH和△GAM中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠GAH=∠GAM}\\{∠AHG=∠AMG}\\{AG=AG}\end{array}\right.$，
∴△AGH≌△AGM，
∴AH=AM=CM=$\frac{1}{2}$AC

（3）解：结论：AG=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$EF．
理由：如图3中，作CM⊥AC交AD的延长线于M，连接PG交AC于点O．

由（2）可知△ACM≌△BAE，△CDF≌△CDM，
∴∠AEB=∠M=∠GEF，∠M=∠CFD=∠GFE，AE=CM=CF，
∴∠GEF=∠GFE，
∴GE=GF，
∵△EFP是由△EFG翻折得到，
∴EG=EP=GF=PF，
∴四边形EGFP是菱形，
∴PG⊥AC，OE=OF，
∵AE=CF，
∴AO=OC，
∵AB∥OP，
∴BP=PC，
∵PF∥BE，
∴EF=CF=AE，
∵PB=PC，AO=OC，
∴PO=OG=$\frac{1}{2}$AB，
∴AB=PG，AB∥PG，
∴四边形ABPG是平行四边形，
∴AG∥BC，
∴∠GAO=∠ACB=45°，设EO=OF=a，则OA=OG=3a，AG=3$\sqrt{2}$a，
∴$\frac{AG}{EF}$=$\frac{3\sqrt{2}a}{2a}$=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
∴AG=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$EF．

点评 本题考查三角形综合题、全等三角形的判定和性质、直角三角形斜边中线定理、菱形的判定和性质、平行四边形的判定和性质、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，第三个问题的根据是证明四边形EGFP是菱形，四边形ABPG是平行四边形，属于中考压轴题．