Question

5．如图，四边形OABC为直角梯形，A（4，0），B（3，4），C（0，4）．点M从O出发以每秒2个单位长度的速度向A运动；点N从B同时出发，以每秒1个单位长度的速度向C运动．其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．过点N作NP垂直x轴于点P，连结AC交NP于Q，连结MQ．
（1）点M（填M或N）能到达终点；
（2）求△AQM的面积S与运动时间t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；
（3）是否存在点M，使得△AQM与△CNQ相似？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用速度公式可计算出点M到点A和点N到点C的时间，从而可判断点M能到达终点；
（2）先判断△OCA为等腰直角三角形得到AC=4$\sqrt{2}$，∠PAQ=∠ACO=45°，则△PAQ和△CQN为等腰直角三角形，所以PA=PQ，CN=NQ，CQ=$\sqrt{2}$CN，AQ=$\sqrt{2}$AP，利用t表示OM、AM、PQ，然后利用三角形面积公式求解；
（3）由于∠QAM=∠QCN，则根据相似三角形的判定方法，当$\frac{MA}{NC}$=$\frac{QA}{QC}$，△MAQ∽△NCQ，当$\frac{MA}{CQ}$=$\frac{QA}{NC}$时，△MAQ∽△QCN，即$\frac{4-2t}{\sqrt{2}（3-t）}$=$\frac{\sqrt{2}（t+1）}{3-t}$，然后利用比例性质求出两种情况下的t的值，再写出对应的M的值．

解答 解：（1）点M需要2秒运动到点A，点N需要3秒运动到点C，
所以点M能到达终点；
故答案为M；
（2）存在．
∵A（4，0），B（3，4），C（0，4），
∴OA=OC=4，BC=3，
∴△OCA为等腰直角三角形，
∴AC=4$\sqrt{2}$，∠PAQ=∠ACO=45°，
∴△PAQ和△CQN为等腰直角三角形，
∴PA=PQ，CN=NQ，CQ=$\sqrt{2}$CN，AQ=$\sqrt{2}$AP，
∵OM=2t，BN=t，AM=4-2t，CN=3-t，
∴PQ=PA=t+1，AQ=$\sqrt{2}$（t+1），CQ=$\sqrt{2}$（3-t）
∴S=$\frac{1}{2}$•PQ•AM=$\frac{1}{2}$•（t+1）•（4-2t）=-t²+t+2（0≤t≤2）；
（3）∵∠QAM=∠QCN，
∴当$\frac{MA}{NC}$=$\frac{QA}{QC}$，△MAQ∽△NCQ，$\frac{4-2t}{3-t}$=$\frac{\sqrt{2}（t+1）}{\sqrt{2}（3-t）}$，解得t=1，此时M点的坐标为（2，0）
当$\frac{MA}{CQ}$=$\frac{QA}{NC}$时，△MAQ∽△QCN，即$\frac{4-2t}{\sqrt{2}（3-t）}$=$\frac{\sqrt{2}（t+1）}{3-t}$，解得t=$\frac{1}{2}$，此时M点的坐标为（1，0）
综上所述，当M点的坐标为（2，0）或（1，0）时，△AQM与△CNQ相似．

点评 本题考查了相似形综合题：熟练掌握相似三角形的判定与性质和等腰直角三角形的性质；理解坐标与图形性质；利用代数法解决动点问题；会运用分类讨论的思想解决数学问题．