Question

9．如图（1），点E是正方形ABCD的对角线CA延长线上一点，以AE为边在正方形的外部作△AEF，使∠AFE=90°，AF=FE，点O是线段CE的中点，连OB，OF，
（1）若EF=1，AB=3，求线段EO的长度；
（2）求证：OB⊥OF；
（3）将图（1）中的正方形变为菱形，其中∠ABC=60°，将等腰△AEF的顶角变为120°，其余条件都不变，则（2）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用勾股定理求得AE和AC的长，则EC即可求得，进而求得EO的长；
（2）作FM⊥EC于点M，BN⊥EC于点N，设直角△AEF的直角边长是a，设正方形ABCD的边长是b，利用三角函数求得OM、ON、FN和 BN的长，证明△OMF≌△△BNO，则∠FOM=∠OBN，∠OFM=∠BON，然后根据直角三角形两锐角互余即可证得∠FOM+∠OFM=90°，即可证明结论；
（3）与（2）的证明方法相同．

解答 解：（1）∵在直角△AEF中，AE=$\sqrt{E{F}^{2}+A{F}^{2}}$=$\sqrt{2}$，
直角△ABC中，AC=$\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}}$=3$\sqrt{2}$，
∴EC=AE+AC=$\sqrt{2}$+3$\sqrt{2}$=4$\sqrt{2}$，
又∵O是线段EC的中点，
∴EO=$\frac{1}{2}$EC=2$\sqrt{2}$；

（2）作FM⊥EC于点M，BN⊥EC于点N．
∵设直角△AEF的直角边长是a，则FM=EM=AM=$\frac{\sqrt{2}}{2}$a，
设正方形ABCD的边长是b，则AN=BN=NC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$b，则OE=OC=$\frac{1}{2}$（AE+AC）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（a+b），
OM=OE-EM=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（a+b）-$\frac{\sqrt{2}}{2}$a=$\frac{\sqrt{2}}{2}$b，
ON=AN-OA=AN-（OM-AM）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$b-（$\frac{\sqrt{2}}{2}$b-$\frac{\sqrt{2}}{2}$a）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$a．
∴在直角△OMF和直角△BNO中，$\left\{\begin{array}{l}{BN=OM}\\{FM=ON}\end{array}\right.$
∴△OMF≌△△BNO，
∴∠FOM=∠OBN，∠OFM=∠BON
又∵直角△OMF中，∠FOM+∠OFM=90°，
∴∠BOF=90°，
∴OB⊥OF；

（3）OB⊥OF仍成立．
理由是：作FM⊥EC于点M，BN⊥EC于点N．
∵设BF=a，则FM=EF•sin∠E=$\frac{1}{2}$a，EM=AM=EF•cosE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，
设AB=b，则BN=AB•sin∠BAC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$b，AN=CN=$\frac{1}{2}$b．
∴EC=AE+AC=$\sqrt{3}$a+b．
∴EO=OC=$\frac{1}{2}$（$\sqrt{3}$a+b），
∴OM=EO-EM=$\frac{1}{2}$（$\sqrt{3}$a+b）-$\frac{\sqrt{3}}{2}$a=$\frac{1}{2}$b，ON=ON=AN-OA=AN-（OM-AM）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a．
∴$\frac{MF}{ON}$=$\frac{OM}{BN}$，
又∵∠FMA=∠BNO，
∴△OMF∽△△BNO，
∴∠FOM=∠OBN，∠OFM=∠BON
又∵直角△OMF中，∠FOM+∠OFM=90°，
∴∠BOF=90°，
∴OB⊥OF．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质，正确证明△OMF≌△△BNO是关键．