Question

20．如图，已知Rt△ABC，∠ABC=90°，以直角边AB为直径作圆O，交斜边AC于点D，连结BD．
（1）若AD=6，BD=8，求边BC的长；
（2）取BC的中点E，连结ED，试证明ED与⊙O相切．

Answer 1

分析 （1）由AB为圆O的直径，利用圆周角定理得到∠ADB为直角，在直角三角形ABD中，利用勾股定理求出AB的长，利用同角的余角相等得到一对角相等，再由公共角相等，利用两对角相等的三角形相似得到三角形ABD与三角形ACB相似，由相似得比例求出BC的长即可；
（2）连接OD，OE，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到DE=BE，利用SSS得到三角形OBE与三角形ODE全等，利用全等三角形的对应角相等得到∠ODE为直角，即可得证．

解答 （1）解：∵AB为圆O的直径，
∴∠ADB=90°，
在Rt△ABD中，AD=6，BD=8，
根据勾股定理得：AB=$\sqrt{{6}^{2}+{8}^{2}}$=10，
∵∠ABD+∠DBC=90°，∠A+∠C=90°，
∴∠ABD=∠C，
∵∠A=∠A，
∴△ABD∽△ACB，
∴$\frac{AD}{AB}$=$\frac{BD}{BC}$，即$\frac{6}{10}$=$\frac{8}{BC}$，
解得：BC=$\frac{40}{3}$；
（2）证明：连接OD，OE，
在Rt△BDC中，E为BC的中点，
∴DE=BE=CE=$\frac{1}{2}$BC，
在△OEB和△OED中，
$\left\{\begin{array}{l}{OB=OD}\\{OE=OE}\\{BE=DE}\end{array}\right.$，
∴△OEB≌△OED（SSS），
∴∠ODE=∠OBE=90°，
则DE与圆O相切．

点评 此题考查了切线的判定，相似三角形的判定与性质，勾股定理，圆周角定理，以及直角三角形斜边上的中线性质，熟练掌握切线的判定方法是解本题的关键．