Question

【题目】如图1，将两块全等的直角三角形纸片△ABC和△DEF叠放在一起，其中∠ACB＝∠E＝90°，BC＝DE＝6，AC＝FE＝8，顶点D与边AB的中点重合．

（1）若DE经过点C，DF交AC于点G，求重叠部分（△DCG）的面积；

（2）合作交流：“希望”小组受问题（1）的启发，将△DEF绕点D旋转，使DE⊥AB交AC于点H，DF交AC于点G，如图2，求重叠部分（△DGH）的面积．

Answer 1

【答案】6； ．

【解析】试题分析：(1)、根据题意得出△ABC和△FDE全等，从而得出CG和DG的大小，然后根据三角形的面积计算法则求出三角形的面积；(2)、根据题意得出△ABC和△FDE全等，根据Rt△ABC的勾股定理求出AB的长度，根据中点得出AD的长度。连接BH，根据Rt△ADH的勾股定理求出DH的长度，从而得出△DGH的面积.

试题解析：(1)、∵∠ACB=90°，D是AB的中点，∴DC=DB=DA．∴∠B=∠DCB．又∵△ABC≌△FDE，

∴∠FDE=∠B．∴∠FDE=∠DCB．∴DG∥BC．∴∠AGD=∠ACB=90°．∴DG⊥AC．又∵DC=DA，

∴G是AC的中点．∴．∴

(2)、如图2所示：∵△ABC≌△FDE，∴∠B=∠1．∵∠C=90°，ED⊥AB，∴∠A+∠B=90°，∠A+∠2=90°，

∴∠B=∠2，∴∠1=∠2，∴GH=GD，∵∠A+∠2=90°，∠1+∠3=90°，∴∠A=∠3，∴AG=GD，

∴AG=GH，∴点G为AH的中点； 在Rt△ABC中，，

∵D是AB中点，∴，

连接BH．∵DH垂直平分AB，∴AB=BH．设AH=x，则BH=x，CH=8-x，

由勾股定理得：（8-x）2+62=x2，解得x=， ∴DH=．

∴S△DGH＝S△ADH=×××5＝．