Question

1．如图，AD是△ABC的中线，tanB=$\frac{1}{4}$，cosC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，AC=$\sqrt{2}$．
（1）求BC的长；
（2）尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）：作出△ABC的外接圆，并求外接圆半径．

Answer 1

分析 （1）过点A作AE⊥BC于点E，根据三角函数的定义和特殊角的三角函数即可得出答案；
（2）作AB、AC的垂直平分线，交点O即为圆心，以OA为半径作圆，即可得出△ABC的外接圆，根据sin∠ABC=sin∠AOK即可解决问题．

解答 解：（1）过点A作AE⊥BC于点E，
∵cosC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴∠C=45°，
在Rt△ACE中，CE=AC•cosC=1，
∴AE=CE=1，
在Rt△ABE中，tanB=$\frac{1}{4}$，即$\frac{AE}{BE}$=$\frac{1}{4}$，
∴BE=4AE=4，
∴BC=BE+CE=5；

（2）如图，①作线段AB的垂直平分线NM．
②作线段AC的垂直平分线GH与直线MN的交点O就是△ABC外接圆的圆心．
③以点O为圆心OA为半径作圆．
⊙O就是所求作的△ABC的外接圆．
∵∠AOC=2∠ABC，∠AOK=∠COK，
∴∠ABC=∠AOK，
∵sin∠AOK=sin∠ABC=$\frac{AE}{AB}$=$\frac{AK}{AO}$，
由（1）可知AB=$\sqrt{A{E}^{2}+B{E}^{2}}$=$\sqrt{17}$，
∴$\frac{1}{\sqrt{17}}$=$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{AO}$，
∴AO=$\frac{\sqrt{34}}{2}$．

点评 本题考查的是作图-复杂作图，三角形的外接圆与外心，解直角三角形等知识，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键，注意锐角三角函数的概念的正确应用，本题也可以用相似三角形求半径，属于中考常考题型．