如图.锐角的正弦和余弦都随着锐角的确定而确定.也随着其变化而变化.试探索随着锐角度数的增大.它的正弦值和余弦值的变化规律,(2)根据你探索到的规律.试比较18°.34°.52°.65°.88°.这些角的正弦值的大小和余弦值的大小,(3)比较大小:(在空格处填写“＜或“＞或“= )若∠α=45°.则sinα cosα,若∠� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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（2003•新疆）（1）如图，锐角的正弦和余弦都随着锐角的确定而确定，也随着其变化而变化，试探索随着锐角度数的增大，它的正弦值和余弦值的变化规律；
（2）根据你探索到的规律，试比较18°，34°，52°，65°，88°，这些角的正弦值的大小和余弦值的大小；
（3）比较大小：（在空格处填写“＜”或“＞”或“=”）
若∠α=45°，则sinα______cosα；若∠α＜45°，则sinα______cosα；若∠α＞45°，则sinα______cosα；
（4）利用互余的两个角的正弦和余弦的关系，比较下列正弦值和余弦值的大小：
sin10°，cos30°，sin50°，cos70°．

【答案】分析：（1）根据锐角三角函数的概念，即可发现随着一个锐角的增大，它的对边在逐渐增大，它的邻边在逐渐减小，故正弦值随着角的增大而增大，余弦值随着角的增大而减小．
（2）根据上述规律，要比较锐角三角函数值的大小，只需比较角的大小．
（3）根据概念以及等腰三角形的性质，显然45°的正弦值和余弦值是相等的，再根据锐角三角函数值的变化规律，即可得到结论．
（4）注意正余弦的转换方法，转换为同一种锐角三角函数后，再根据锐角三角函数值的变化规律进行比较．
解答：解：（1）在图（1）中，令AB₁=AB₂=AB₃，B₁C₁⊥AC于点C₁，B₂C₂⊥AC于点C₂，B₃C₃⊥AC于点C₃，
显然有：B₁C₁＞B₂C₂＞B₃C₃，∠B₁AC＞∠B₂AC＞∠B₃AC．
∵sin∠B₁AC=

，sin∠B₂AC=

，sin∠B₃AC=

，
而

＞

．
∴sin∠B₁AC＞sin∠B₂AC＞sin∠B₃AC．
在图（2）中，Rt△ACB₃中，∠C=90°，
cos∠B₁AC=

，cos∠B₂AC=

，cos∠B₃AC=

，
∵AB₃＞AB₂＞AB₁，
∴

＜

．
即cos∠B₃AC＜cos∠B₂AC＜cos∠B₁AC．

（2）sin88°＞sin65°＞sin52°＞sin34°＞sin18°；
cos88°＜cos65°＜cos52°＜cos34°＜cos18°．

（3）若∠α=45°，则sinα=cosα；若∠α＜45°，则sinα＜cosα；若∠α＞45°，则sinα＞cosα．

（4）cos30°＞sin50°＞cos70°＞sin10°．
点评：理解锐角三角函数的概念，掌握锐角三角函数值的变化规律以及正余弦的转换方法．

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