Question

如图所示，在直角坐标系xOy中，点A在y轴负半轴上，点B、C分别在x轴正、负半轴上，AO=8，AB=AC，sin∠ABC=．点D在线段AB上，连接CD交y轴于点E，且S_△COE=S_△ADE．试求图象经过B、C、E三点的二次函数的解析式．

Answer 1

解：因为sin∠ABC==，AO=8，
所以AB=10．由勾股定理，得BO==6．
易知△ABO≌△ACO，因此 CO=BO=6．
于是A（0，-8），B（6，0），C（-6，0）．
设点D的坐标为（m，n）．
由S_△COE=S_△ADE，得S_△CDB=S_△AOB．所以 BC•|n|=AO•BO，×12（-n）=×8×6．
解得 n=-4．
因此D为AB的中点，点 D的坐标为（3，-4）．
因此CD，AO分别为AB，BC的两条中线，点E为△ABC的重心，
所以点E的坐标为（0，-）．（也可由直线CD交y轴于点E来求得．）
设经过B，C，E三点的二次函数的解析式为y=a（x-6）（x+6）．
将点E的坐标代入，解得a=．
故经过B，C，E三点的二次函数的解析式为y=x²-．
分析：已知AB=AC，显然有OB=OC，因此只需求出点B的坐标即可确定点C的坐标；在Rt△ABC中，已知AO、∠ABC的正弦值即可求出OB的长，可据此求出点B、C的坐标．
求点E的坐标时，要把握住S_△COE=S_△ADE这个条件，由图可看出这两个三角形的面积不好得出，因此让它们加上一个公共图形，转化为S_△CDB=S_△AOB更方便求解，先求出点D的坐标，进一步可求出点E的坐标，再由待定系数法即可确定抛物线的解析式．
点评：该题主要考查的是利用待定系数法确定二次函数的解析式，其中求点E的坐标是本题的难点，解题时要注意转化思想的合理应用，例如：将S_△COE=S_△ADE转化为S_△CDB=S_△AOB后，可大大降低解题的难度．