Question

（1）如图1，BP为ABC的角平分线，PMAB于M，PNBC于N，AB =30，BC =23，求ABP与BPC的面积的比值；
（2）如图2，分别以ABC的边AB、AC为边向外作等边三角形ABD和等边三角形ACE，CD与BE相交于点O，判断AOD与AOE的数量关系，并证明；
（3）在四边形ABCD中，已知BC=DC，且AB≠AD，对角线AC平分BAD，请画出图形，并直接写出B和D的数量关系．
        

Answer 1

（1）

∵平分
∴
在和中

∴
∴
∵

∴


∴所求面积比值为
（2）答：∠AOD与∠AOE的数量关系为相等．
证明：如图2，过点A作AM⊥DC于M，AN⊥BE于N，

∵△ABD和△ACE都是等边三角形，
∴AD=AB，AC=AE，∠DAB=∠CAE=60°．
∵∠BAC=∠CAB，
∴∠DAC=∠BAE．
∴△DAC≌△BAE．
∴DC=BE，
∴S_△DAC=S_△BAE．
∵S_△DAC=DC•AM，S_△BAE=BE•AN，
∴AM=AN．
∴点A在∠DOE的角平分线上．
∴∠AOD=∠AOE．
（3）作CM⊥AB，CN⊥AD，

∵AC为∠BAD的角平分线，
∴CM=CN，
∵CB=DC，
∴△CMB≌△CND，
∴∠MBC=∠NDC，
∵∠MBC+∠ABC=180°，
∴∠ADC+∠ABC=180°，即∠B+∠D=180°．

解析