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将抛物线 C₁：y= $数学公式$ （x+2）²-2关于x轴作轴对称变换，再将变换后的抛物线沿y轴的正方向平移0.5个单位，沿x轴的正方向平移m个单位，得到抛物线C₂，抛物线C₁、C₂的顶点分别为B、D．
（1）直接写出当m=0和m=4时抛物线C₂的解析式；
（2）分别求出符合下列条件的m的值：①线段BD经过原点；②点D刚好落在抛物线C₁上；
（3）抛物线C₂与x轴交于A、C两点（A点在C点的左侧），是否存在m的值，使四边形ABCD为梯形？若存在，求出符合条件的m的值；若不存在，请说明理由．

解：（1）点B为抛物线C₁的顶点，所以点B的坐标为（-2，-2）．
点B关于x轴作轴对称变换得B₁，则点B₁的坐标为（-2，2），再将点B向上平移0.5个单位、向右平移m个单位后得：D（-2+m，2.5）；
抛物线在平移过程中，形状没有发生变化，而开口方向改变，故抛物线C₂的解析式为：y=- $\text{[math]}$ （x+2-m）²+2.5；
当m=0时，抛物线C₂：y=- $\text{[math]}$ （x+2）²+2.5；
当m=4时，抛物线C₂：y=- $\text{[math]}$ （x-2）²+2.5．

（2）①因为线段BD经过原点，可设直线BD的解析式为：y=kx，已知点B（-2，-2），所以k=1；
所以-2+m=2.5，m=4.5．
②点D（-2+m，2.5）在抛物线C₁上，
∴2.5= $\text{[math]}$ （-2+m+2）²-2
解之得，m=3或-3．

（3）如图，分别过点B、D作x轴的垂线，垂足分别为N、M；则DM=2.5，BN=2．

∵抛物线C₂的解析式为：y=- $\text{[math]}$ （x+2-m）²+2.5，
当y=0时，0=- $\text{[math]}$ （x+2-m）²+2.5，解之得：x₁=m-2+ $\text{[math]}$ ，x₂=m-2- $\text{[math]}$ ．
∴点A、C的坐标分别为 A（m-2- $\text{[math]}$ ，0）、C（m-2+ $\text{[math]}$ ，0）
∴AC=（m-2+ $\text{[math]}$ ）-（m-2- $\text{[math]}$ ）=2 $\text{[math]}$
∴AM=CM= $\text{[math]}$ ．
要使四边形ABCD为梯形，分两种情况：
①AB∥CD，此时△DMC∽△BNA，所以 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，

∴AN= $\text{[math]}$ ，
∴MN= $\text{[math]}$ ；
∵点M在N点的右侧，∴m= $\text{[math]}$ ．
②AD∥BC，此时△ADM∽△CBN，所以 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴CN= $\text{[math]}$
∴MN= $\text{[math]}$ ．
∵点M在点N的左侧，∴m=- $\text{[math]}$ ．
AC与BD相交于点E，
∵ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
∴AC没有平分BD，四边形ABCD的两组对边不可能同时平行．
综上所述，存在m= $\text{[math]}$ 或m=- $\text{[math]}$ 时，四边形ABCD为梯形．
分析：（1）抛物线作x轴的轴对称变换后，开口方向发生变化（变换前后，二次项系数互为相反数）、顶点坐标发生变化（变换前后，顶点坐标关于x轴对称）；再根据函数图象的平移规律（左加右减、上加下减）表达出C₂的解析式；最后直接将m的值代入求解即可．
（2）根据抛物线C₁的解析式能确定其顶点B的坐标，根据（1）的平移规律能确定抛物线C₂的顶点D的坐标；
①首先根据点O、B的坐标求出直线BD的解析式，将D点坐标代入即可确定m的值．
②直接将点D的坐标代入抛物线C₁的解析式中求解即可．
（3）观察四边形ABCD的四个顶点坐标后发现：A、C同在x轴上，而B、D并没有关于AC对称（或BD并没有被AC平分），因此该四边形不可能是平行四边形，若四边形ABCD是梯形，只需考虑一组对边平行即可，分两种情况考虑：①AB∥CD、②AD∥BC；可过B、D分别作x轴的垂线，将一组平行边构建到一组相似三角形中，再根据相似三角形的对应边成比例来进行求解．
点评：该题考查了函数图象的平移、梯形的判定、相似三角形的应用等综合知识，函数图象的平移规律（左加右减、上加下减）是需要牢记的内容．

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．

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