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【题目】已知:RTABCRTDEF中,∠ACB=∠EDF90°,∠DEF45°EF8cmAC16cmBC12cm.现将RTABCRTDEF按图1的方式摆放,使点C与点E重合,点BCE)、F在同一条直线上,并按如下方式运动.

运动一:如图2ABC从图1的位置出发,以1cm/s的速度沿EF方向向右匀速运动,DEAC相交于点Q,当点Q与点D重合时暂停运动;

运动二:在运动一的基础上,如图3RTABC绕着点C顺时针旋转,CADF交于点QCBDE交于点P,此时点QDF上匀速运动,速度为cm/s,当QCDF时暂停旋转;

运动三:在运动二的基础上,如图4RTABC1cm/s的速度沿EF向终点F匀速运动,直到点C与点F重合时为止.

设运动时间为ts),中间的暂停不计时,

解答下列问题

1)在RTABC从运动一到最后运动三结束时,整个过程共耗时   s

2)在整个运动过程中,设RTABCRTDEF的重叠部分的面积为Scm2),求St之间的函数关系式,并直接写出自变量t的取值范围;

3)在整个运动过程中,是否存在某一时刻,点Q正好在线段AB的中垂线上,若存在,求出此时t的值;若不存在,请说明理由.

【答案】(1)10;(2)见解析;(3)存在,t=3.56﹣时,点Q正好在线段AB的中垂线上,理由见解析

【解析】

(1)分段分别讨论分析;

(2) 动一,Rt△ABCRt△DEF的重叠部分为直角△QCE的面积,表示出即可;运动二,连接CD,可得∠E=∠CDQ,∠ECP=∠ECQ,EC=DC,所以△ECP≌△DCQ,RT△ABCRT△DEF的重叠部分不变:y=8(4<t<6);运动三,四边形QDPC为矩形,CF=4-(t-6)=10-t,EC=8-CF=t-2,则可求得S矩形QDPC的值.

(3) Q在线段AB的中垂线上,连接BQ,可得AQ=QB,所以,AC-CQ= ,又AC=16cm,BC=12cm,得,CQ=3.5cm,又由∠DEF=45°,所以,EC=3.5cm,解答出即可.

(1)根据题意得,

运动一

∵△DEF是等腰三角形,∠ACB=90°,EF=8cm,

EC=4cm,

∴运动一所用时间为:4÷1=4(秒),

运动二:

∵当QCDF时暂停旋转,

CD=CF,

DQ=QF=2cm

∴运动二所用时间为:2=2(秒),

运动三:

CF=4cm,

∴运动三所用的时间为:4÷1=4(秒),

∴整个过程共耗时4+2+4=10(秒);

故答案为:10;

(2)运动一:如图2,

ECtcm,则CQtcm,

SECQ=×t×t,

St之间的函数关系式为:y=t2(0≤t≤4),

运动二:如图3,

连接CD,在ECPDCQ中,

∴△ECP≌△DCQ(ASA),

St之间的函数关系式为:y=8(4<t<6),

运动三:如图4,

四边形QDPC为矩形,

CF=4﹣(t﹣6)=10﹣t,

EC=8﹣CF=t﹣2,

S矩形QDPC=(t﹣2)×(10﹣t),

=t2+6t﹣10;

St之间的函数关系式为:y=t2+6t﹣10(6≤t≤10);

(3)存在点Q,理由如下:

如图5,运动一

∵点Q在线段AB的中垂线上,连接BQ,

AQ=QB,

AC﹣CQ=

又∵AC=16cm,BC=12cm,

解得,CQ=3.5cm,

∵∠DEF=45°,

EC=3.5cm,

此时,t为:3.5÷1=3.5秒.

如图6,运动二:

同理:CQ=3.5,

过点CCMDFDF于点M,CM=2

RtQCM中,QM==

DQ=2

t=(2)÷+4=6﹣

运动三时,CQ最大为2<3.5,

所以无解.

综上,t=3.56﹣时,点Q正好在线段AB的中垂线上.

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