Question

已知二次函数y=ax²+bx+c的图象与x轴交于点（-2，0）、（x₁，0），且1＜x₁＜2，与y轴的正半轴的交点在（0，2）的下方．下列结论：①4a-2b+c=0；②2a-b＞0；③a＜b＜0；④2a+c＞0．其中正确结论的个数是

 

个．

Answer 1

考点：二次函数图象与系数的关系

专题：

分析：采用形数结合的方法解题，根据抛物线的开口方向，对称轴的位置判断a、b、c的符号，把两根关系与抛物线与x的交点情况结合起来分析问题．

解答：解：①由二次函数y=ax²+bx+c的图象与x轴交于点（-2，0），
4a-2b+c=0，故①正确；
②c＜2，4a-2b+c=0，
4a-2b+2＞0，2a-b+1＞0，2a-b＞-1，故②错误；
③因为图象与x轴两交点为（-2，0），（x₁，0），且1＜x₁＜2，
对称轴x=

-2+x1

2

=-

b

2a

，
则对称轴-

1

2

＜-

b

2a

＜0，且a＜0，∴a＜b＜0，
由抛物线与y轴的正半轴的交点在（0，2）的下方，得c＞0，即a＜b＜c，故③正确；
④设x₂=-2，则x₁x₂=

c

a

，而1＜x₁＜2，
∴-4＜x₁x₂＜-2，∴-4＜

c

a

＜-2，
∴2a+c＞0，4a+c＜0，故④正确．
故答案为：3．

点评：本题考查了二次函数图象与系数的关系，利用了根与系数的关系，点与图象的关系，题目稍有难度．