Question

【题目】如图，AD是⊙O的直径，BC是弦，四边形OBCD是平行四边形，AC与OB相交于点P，给出下列结论：①AC⊥CD；②∠CAD＝30°；③OB⊥AC；④CD＝2OP．其中正确的个数为（　　）

A.4个B.3个C.2个D.1个

Answer 1

【答案】A

【解析】

利用直径所对的圆周角是直角判断①，利用四边形OBCD是平行四边形证明是等边三角形，可判断②，利用平行四边形与结论①，可判断③，利用中位线的性质可判断④．

∵AD是⊙O的直径，

∴∠ACD＝90°，

∴AC⊥CD，故①正确；

如图，连接OC，

∵四边形OBCD是平行四边形，

∴BC＝OD，OB＝CD

∵OB＝OC＝OD，

∴OB＝OC＝BC＝OD＝CD，

∴△BOC与△COD均为等边三角形，

∴∠COD＝60°，∠BOC＝60°，

∴∠CAD＝∠COB＝30°，故②正确；

∵四边形OBCD是平行四边形，

∴OB∥CD，

∵AC⊥CD，

∴OB⊥AC，故③正确；

∵OB⊥AC，

∴CP＝AP，

又∵OA＝OD，

∴CD＝2OP，故④正确．

综上，正确的有①②③④．

故选：A．