Question

如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=60°，AC=3，点D是边AB上的动点（点D与点A、B不重合），过点D作DE⊥AB交射线AC于E，连接BE，点F是BE的中点，连接CD、CF、DF．
（1）当点E在边AC上（点E与点C不重合）时，设AD=x，CE=y．
①直接写出y关于x的函数关系式及定义域；
②求证：△CDF是等边三角形；
（2）如果BE=2

7

，请直接写出AD的长．

Answer 1

分析：（1）①根据30°角所对的直角边等于斜边的一半可得AE=2AD，然后再根据AC=3进行解答即可；
②先根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到CF=DF=

1

2

BE，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和得到∠DFC=2∠ABC=60°，然后即可证明是等边三角形；
（2）先求出BC的长度，在△BEC中，再利用勾股定理求出CE=1，再分点E在AC上与在射线AC上两种情况求解．

解答：解：（1）①∵∠A=60°，DE⊥AB，
∴∠AED=90°-60°=30°，
∴AE=2AD=2x，
又AC=AE+CE，
即3=2x+y，
∴y=-2x+3；定义域：0＜x＜

3

2

；…（2分）
②证明：在Rt△ECB和Rt△EDB中，∠ECB=∠EDB=90°．
∵点F是BE的中点，
∴CF=DF=

1

2

BE=BF．…（1分）
∴∠FCB=∠CBF，∠FDB=∠DBF．…（1分）
∴∠CFE=2∠CBF，∠DFE=2∠DBF．
∴∠CFE+∠DFE=2（∠CBF+∠DBF）．
即∠CFD=2∠CBA．…（1分）
∵∠A=60°，∴∠ABC=90°-60°=30°．
∴∠CFD=60°．…（1分）
∴△CDF是等边三角形．…（1分）

（2）∵∠ACB=90°，∠A=60°，AC=3，
∴BC=3tan60°=3

3

，
在Rt△BCE中，CE=

BE2-BC2

=

(2 7 )2-(3 3 )2

=1，
当点E在AC上时，AD=

1

2

AE=

1

2

（3-1）=1，
当点E在射线AC上时，AD=

1

2

AE=

1

2

（3+1）=2，
∴AD的长是1或2．  …（一解正确得2分；两解正确得3分）

点评：本题主要考查了30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，勾股定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，以及等边三角形的判定，综合性较强，只要仔细分析也不难解决．