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【题目】如图,AB是⊙O的直径,∠BAC=90°,四边形EBOC是平行四边形,EB交⊙O于点D,连接CD并延长交AB的延长线于点F.

(1)求证:CF是⊙O的切线;
(2)若∠F=30°,EB=4,求图中阴影部分的面积(结果保留根号和π)

【答案】
(1)

证明:如图连接OD.

∵四边形OBEC是平行四边形,

∴OC∥BE,

∴∠AOC=∠OBE,∠COD=∠ODB,

∵OB=OD,

∴∠OBD=∠ODB,

∴∠DOC=∠AOC,

在△COD和△COA中,

∴△COD≌△COA,

∴∠CAO=∠CDO=90°,

∴CF⊥OD,

∴CF是⊙O的切线.


(2)

解:∵∠F=30°,∠ODF=90°,

∴∠DOF=∠AOC=∠COD=60°,

∵OD=OB,

∴△OBD是等边三角形,

∴∠DBO=60°,

∵∠DBO=∠F+∠FDB,

∴∠FDB=∠EDC=30°,

∵EC∥OB,

∴∠E=180°﹣∠OBD=120°,

∴∠ECD=180°﹣∠E﹣∠EDC=30°,

∴EC=ED=BO=DB,

∵EB=4,

∴OB=OD═OA=2,

在RT△AOC中,∵∠OAC=90°,OA=2,∠AOC=60°,

∴AC=OAtan60°=2

∴S=2SAOC﹣S扇形OAD=2× ×2×2 =2


【解析】(1)欲证明CF是⊙O的切线,只要证明∠CDO=90°,只要证明△COD≌△COA即可.(2)根据条件首先证明△OBD是等边三角形,∠FDB=∠EDC=∠ECD=30°,推出DE=EC=BO=BD=OA由此根据S=2SAOC﹣S扇形OAD即可解决问题.
本题考查切线的判定、全等三角形的判定和性质、扇形的面积公式、等边三角形的判定和性质、平行四边形的性质等知识,解题的关键是添加辅助线构造全等三角形,注意寻找特殊三角形解决问题,属于中考常考题型.

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抽取的200名学生海选成绩分组表

组别

海选成绩x

A组

50≤x<60

B组

60≤x<70

C组

70≤x<80

D组

80≤x<90

E组

90≤x<100


请根据所给信息,解答下列问题:
(1)请把图1中的条形统计图补充完整;(温馨提示:请画在答题卷相对应的图上)
(2)在图2的扇形统计图中,记表示B组人数所占的百分比为a%,则a的值为 , 表示C组扇形的圆心角θ的度数为度;
(3)规定海选成绩在90分以上(包括90分)记为“优等”,请估计该校参加这次海选比赛的2000名学生中成绩“优等”的有多少人?

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A.3
B.4
C.5
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