Question

如图，将量角器和含30°角的一块直角三角板紧靠着放在同一平面内，使D，C，B在一条直线上，且DC=2BC，过点A作量角器圆弧所在圆的切线，切点为E，如果AB=6cm，则

DE

的长是

 

cm．

Answer 1

考点：切线的性质,弧长的计算

专题：计算题

分析：连接OA，OE，根据AE为圆O的切线，得到AE垂直于OE，利用HL得到直角三角形AEO与直角三角形ACO全等，利用全等三角形的对应角相等得到∠AOE=∠AOC，再由DC=2BC，且O为DC中点，得到OC=BC，利用SAS得到三角形ACO与三角形ACB全等，确定出∠EOD度数，在直角三角形ABC中，利用30度所对的直角边等于斜边的一半求出BC的长，即为圆O的半径，利用弧长公式求出弧DE长即可．

解答：解：连接OA，OE，
∵AE为圆O的切线，
∴AE⊥OE，即∠AEO=90°，
在Rt△AEO和Rt△ACO中，

OE=OC AO=AO

，
∴Rt△AEO≌Rt△ACO（HL），
∴∠EOA=∠COA，
∵DC=2BC，且OD=OC=

1

2

DC，
∴OC=BC，
在△ACO和△ACB中，

AC=AC ∠ACO=∠ACB=90° OC=BC

，
∴△ACO≌△ACB（SAS），
∴∠AOC=∠ABC=60°，∠CAB=∠CAO=30°，
∴∠EOC=120°，即∠EOD=60°，
在Rt△ABC中，∠BAC=30°，AB=6cm，
∴BC=3cm，即圆O半径为3cm，
则l=

60π×3

80

=π．
故答案为：π．

点评：此题考查了切线的性质，弧长公式，全等三角形的判定与性质，熟练掌握切线的性质是解本题的关键．