Question

已知抛物线y=3ax²+2bx+c，
（1）若a=b=1，c=-1，求该抛物线与x轴的交点坐标；
（2）若a+b+c=1，是否存在实数x₀，使得相应的y=1？若有，请指明有几个并证明你的结论；若没有，阐述理由．
（3）若a=

1

3

，c=2+b且抛物线在-2≤x≤2区间上的最小值是-3，求b的值．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）先将a=b=1，c=-1代入y=3ax²+2bx+c，得到抛物线为y=3x²+2x-1，再用因式分解法求出方程3x²+2x-1=0的两个根，即可得到该抛物线与x轴的交点坐标；
（2）将y=1代入y=3ax²+2bx+c，得到3ax²+2bx+c=1，则△=4b²-12a（c-1），再将c-1=-a-b代入△，整理得到△=4[（b+

3

2

a）²+

3

4

a²]，由a≠0，得出△＞0，根据一元二次方程根与系数的关系可知方程3ax²+2bx+c=1有两个不相等实数根，即存在两个不同实数x₀，使得相应的y=1；
（3）先将a=

1

3

，c=2+b代入y=3ax²+2bx+c，得到抛物线为y=x²+2bx+b+2，根据二次函数的性质求出其对称轴为x=-b，再分三种情况进行讨论：①x=-b＜-2；②x=-b＞2；③-2≤-b≤2．

解答：解：（1）当a=b=1，c=-1时，抛物线为y=3x²+2x-1，
∵方程3x²+2x-1=0的两个根为x₁=-1，x₂=

1

3

，
∴该抛物线与x轴的交点坐标是（-1，0）和（

1

3

，0）；

（2）存在两个不同实数x₀，使得相应的y=1．理由如下：
由y=1得3ax²+2bx+c=1，即3ax²+2bx+c-1=0，
△=4b²-12a（c-1）
=4b²-12a（-a-b）
=4b²+12ab+12a²
=4（b²+3ab+3a²）
=4[（b+

3

2

a）²+

3

4

a²]，
∵a≠0，
∴△＞0，
所以方程3ax²+2bx+c=1有两个不相等实数根，
即存在两个不同实数x₀，使得相应的y=1；

（3）若a=

1

3

，c=2+b，则抛物线可化为y=x²+2bx+b+2，其对称轴为x=-b，分三种情况：
①当x=-b＜-2时，即b＞2，则有抛物线在x=-2时取最小值为-3，此时-3=（-2）²+2×（-2）b+b+2，解得b=3，符合题意；
②当x=-b＞2时，即b＜-2，则有抛物线在x=2时取最小值为-3，此时-3=2²+2×2b+b+2，解得b=-

9

5

，不合题意，舍去；
③当-2≤-b≤2时，即-2≤b≤2，则有抛物线在x=-b时取最小值为-3，此时-3=（-b）²+2×（-b）b+b+2，化简得：b²-b-5=0，解得：b=

1+ 21

2

（不合题意，舍去），b=

1- 21

2

．
综上：b=3或b=

1- 21

2

．

点评：本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有二次函数的性质，抛物线与一元二次方程的关系，二次函数最值的求法．解决第（3）问时要注意分析题意分情况讨论结果．