Question

2．如图，在△ABC中，AB=10，BC=12，以AB为直径的⊙O交BC于点D．过点D的⊙O的切线垂直AC于点F，交AB的延长线于点E．
（1）连接OD，则OD与AC的位置关系是平行．
（2）求AC的长．
（3）求sinE的值．

Answer 1

分析 （1）连接OD，则OD与AC的位置关系式是平行，理由为：由EF为圆O的切线，利用切线的性质得到OD垂直与EF，再由AF与EF垂直，利用垂直于同一条直线得到两条直线平行得证；
（2）根据O为AB的中点，且OD与AF平行，得到OD为三角形ABC的中位线，得到OD为AC的一半，由OD的长求出AC的长即可；
（3）由（2）得到D为BC中点，求出BD与DC长，过B点作EF的垂线BH，垂足为H点，连接AD，可得BH，OD，AC三直线平行，由AB为圆O的直径，利用直径所对的圆周角为直角，得到∠ADB=90°，再利用弦切角等于夹弧所对的圆周角，得到三角形DBH与三角形ABD相似，由相似得比例求出BH的长，再由BH与OD平行得到三角形BHE与三角形ODE相似，由相似得比例求出设BE为x，求出BE的长，在直角三角形BHE中，利用锐角三角函数定义求出sinE的值即可．

解答 解：（1）连接OD，则OD与AC的位置关系是平行，理由为：
∵EF与圆O相切，
∴OD⊥EF，
∵AF⊥EF，
∴OD∥AC；
故答案为：平行；
（2）∵O为AB中点，OD∥AC，且OD=AO=OB=5，
∴OD为△BAC在底AC边上的中位线，
∴OD=$\frac{1}{2}$AC，
∴AC=2OD=10；
（3）由（2）知D为BC的中点，
∴BD=CD=6，
过B点作EF的垂线BH，垂足为H点，连接AD，则有BH∥OD∥AC，
∵AB是直径，
∴∠ADB=90°，
∵∠HDB=∠DAB，∠ADB=∠DHB=90°，
∴△DBH∽△ABD，
∴$\frac{BD}{BH}$=$\frac{AB}{BD}$，即$\frac{6}{BH}$=$\frac{10}{6}$，
解得：BH=3.6，
设BE=x，
∵BH∥OD，
∴△EHB∽△EDO，
∴$\frac{OD}{BH}$=$\frac{OE}{BE}$，即$\frac{5}{3.6}$=$\frac{x+5}{x}$，
解得：x=$\frac{90}{7}$，即BE=$\frac{90}{7}$，
∴sinE=$\frac{BH}{BE}$=3.6÷$\frac{90}{7}$=$\frac{7}{25}$．

点评 此题属于圆综合题，涉及的知识有：相似三角形的判定与性质，直线与圆相切的性质，圆周角定理，平行线的性质，三角形中位线定理，以及圆周角定理，熟练掌握性质及定理是解本题的关键．