Question

11．如图，等腰三角形ABC中，AC=BC=10，AB=12．
（1）动手操作：利用尺规作以BC为直径的⊙O，⊙O交AB于点D，⊙O交AC于点E，并且过点D作DF⊥AC交AC于点F．
（2）求证：直线DF是⊙O的切线；
（3）连接DE，记△ADE的面积为S₁，四边形DECB的面积为S₂，求$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}$的值．

Answer 1

分析 （1）根据题意作出图形即可；
（2）连接OD，根据等腰三角形的性质得到∠A=∠ODB根据平行线的判定得到OD∥AC，由平行线的性质得到∠ODF=∠AFD=90°，于是得到结论；
（3）连接DE；根据圆周角定理得到∠CDB=90°，即CD⊥AB，由等腰三角形的性质得到AD=BD=$\frac{1}{2}$AB=6，根据圆内接四边形的性质得到∠BDE+∠C=180°，等量代换得到∠C=∠ADE，根据相似三角形的性质得到$\frac{AD}{AC}=\frac{6}{10}$=$\frac{3}{5}$，于是得到结论．

解答 解：（1）如右图所示，图形为所求；

（2）证明：连接OD
∵DF⊥AC，
∴∠AFD=90°，
∵AC=BC，
∴∠A=∠B，
∵OB=OD，
∴∠B=∠ODB，
∴∠A=∠ODB
∴OD∥AC，
∴∠ODF=∠AFD=90°，
∴直线DF是⊙O的切线；

（3）连接DE；
∵BC是⊙O的直径，
∴∠CDB=90°，即CD⊥AB，
∵AC=BC，CD⊥AB，
∴AD=BD=$\frac{1}{2}$AB=6，
∵四边形DECB是圆内接四边形，
∴∠BDE+∠C=180°，
∵∠BDE+∠ADE=180°，
∴∠C=∠ADE，
∵在△ADE和△ACB中，∠ADE=∠C，∠DAE=∠CAB，
∴△ADE∽△ACB，
∴$\frac{AD}{AC}=\frac{6}{10}$=$\frac{3}{5}$，
∴$\frac{{S}_{△ADE}}{{S}_{△ACE}}$=$\frac{9}{25}$，
∵S_△ABC=S_△ADE+S_{四边形DECB}，
∴$\frac{{S}_{△ACB}}{{S}_{△ADE}}$=$\frac{{S}_{△ADE}+{S}_{四边形DECB}}{{S}_{△ADE}}$=$\frac{25}{9}$，
∴$\frac{{S}_{四边形DECB}}{{S}_{△ADE}}$=$\frac{16}{9}$，即$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}$=$\frac{9}{16}$．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，切线的判定，圆内接四边形的性质，基本作图，正确的作出图形是解题的关键．