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    14．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=1，E，F是线段AB上的两个动点，且∠ECF=
    45°，过点E，F分别作BC，AC的垂线相交于点M，垂足分别为H，G．下列判断：
    ①AB=$\sqrt{2}$；②当点E与点B重合时，MH=$\frac{1}{2}$；③$\frac{AE}{BC}$=$\frac{AC}{BF}$；④AF+BE=EF．
    其中正确的结论有（　　）
    A．①②③B．①③④C．①②④D．①②③④

    分析 ①由题意知，△ABC是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形即可作出判断；
    ②如图1，当点E与点B重合时，点H与点B重合，可得MG∥BC，四边形MGCB是矩形，进一步得到FG是△ACB的中位线，从而作出判断；
    ③根据两角相等可证△ACE∽△BFC；
    ④如图2所示，SAS可证△ECF≌△ECD，根据全等三角形的性质和勾股定理即可作出判断．

    解答 解：①由题意知，△ABC是等腰直角三角形，
    则AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{2}$，故①正确；
    ②如图1，当点E与点B重合时，点H与点B重合，

    ∴MB⊥BC，∠MBC=90°，
    ∵MG⊥AC，
    ∴∠MGC=90°=∠C=∠MBC，
    ∴MG∥BC，四边形MGCB是矩形，
    ∴MH=MB=CG，
    ∵∠FCE=45°=∠ABC，∠A=∠ACF=45°，
    ∴CF=AF=BF，
    ∴FG是△ACB的中位线，
    ∴GC=$\frac{1}{2}$AC=MH，故②正确；
    ④如图2所示，

    ∵AC=BC，∠ACB=90°，
    ∴∠A=∠5=45°．
    将△ACF顺时针旋转90°至△BCD，
    则CF=CD，∠1=∠4，∠A=∠6=45°；BD=AF；
    ∵∠2=45°，
    ∴∠1+∠3=∠3+∠4=45°，
    ∴∠DCE=∠2．
    在△ECF和△ECD中，
    $\left\{\begin{array}{l}{CF=CD}\\{∠2=∠DCE}\\{CE=CE}\end{array}\right.$，
    ∴△ECF≌△ECD（SAS），
    ∴EF=DE．
    ∵∠5=45°，
    ∴∠DBE=90°，
    ∴DE2=BD2+BE2，即EF2=AF2+BE2，故④错误；
    ③∵∠7=∠1+∠A=∠1+45°=∠1+∠2=∠ACE，
    ∵∠A=∠5=45°，
    ∴△ACE∽△BFC，
    ∴$\frac{AE}{BC}$=$\frac{AC}{BF}$；
    故③正确．
    故选A．

    点评 本题考查了相似形综合题，涉及的知识点有：等腰直角三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，矩形的判定和性质，三角形中位线的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，综合性较强，有一定的难度．

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