Question

18．如图，在边长为4cm的圆内接正方形ABCD中，AC是对角线，M为边BC的中点，延长AM交圆于点E．
（1）求证：△AMC∽△BME；
（2）求BE的长．

Answer 1

分析 （1）直接根据∠EBC=∠EAC，∠BME=∠AMC可得出结论；
（2）先根据勾股定理求出AC的长，再由M为边BC的中点得出BM的长，由勾股定理求出AM的长，再根据相似三角形的对应边成比例即可得出结论．

解答 （1）证明：在△AMC和△BME中，
∵∠EBC=∠EAC，∠BME=∠AMC，
∴△AMC∽△BME；

（2）解：∵正方形ABCD的边长为4cm，
∴AB=BC=4，∠ABC=90°．
∴AC=$\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+{4}^{2}}$=4$\sqrt{2}$．
∵M为边BC的中点，
∴BM=2
∴AM=$\sqrt{A{B}^{2}+B{M}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{5}$．
∵△AMC∽△BME
∴$\frac{BE}{BM}$=$\frac{AC}{AM}$，
∴BE=$\frac{4\sqrt{2}×2}{2\sqrt{5}}$=$\frac{4\sqrt{10}}{5}$cm．

点评 本题考查的是相似三角形的判定与性质，熟知相似三角形的对应边成比例是解答此题的关键．