Question

如图，矩形ABCD中，AB=10，BC=5，点P为AB边上一点，DP交AC于点Q．
（1）求证：△APQ∽△CDQ；
（2）当PD⊥AC时，求线段PA的长度．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,矩形的性质

专题：

分析：（1）根据矩形的性质，可得出AB∥CD，从而得出∠PAQ=∠DCQ，∠QPA=∠QDC，利用两角对应相等的三角形相似得出结论；
（2）由PD⊥AC，得∠ACD+∠PDC=90°，从而得出∠ACD=∠PDA，可证明△ADC∽△PAD，由相似比得出PA的长．

解答：（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，
∴∠PAQ=∠DCQ，∠QPA=∠QDC，
∴△APQ∽△CDQ．
（2）解：∵PD⊥AC，
∴∠ACD+∠PDC=90°，
∵∠PDA+∠PDC=90°，
∴∠ACD=∠PDA，
∵∠ADC+∠PAD=90°，
∴△ADC∽△PAD，
∴

AD

PA

=

DC

AD

，
∴

5

PA

=

10

5

，
∴PA=2.5．

点评：本题考查了相似三角形的判定和性质以及矩形的性质，综合性强，难度不大．