Question

如图，在等边△ABC中，点D为AC上一点，连结AB，BD，BC分别相交于点E，P，F，且∠BPF=60°
（1）写出图中所有与△BPF相似的三角形，并选择其中一对给予证明；
（2）探究：当BD什么条件时（其它条件不变），PF=

1

2

PE？请写出探究结果，并说明理由．（说明：结论中不得含有未标识的字母）

Answer 1

分析：（1）△BPF∽△EBF与△BPF∽△BCD这两组三角形都可由一个公共角和一组60°角来证得．
（2）先看PF=

1

2

PE能得出什么结论．根据△BPF∽△EBF，可得BF²=PF•EF=3PF²，因此BF=

3

PF，且∠BPF=60°，∵∠PFB=90°，∴∠PBF=90-60=30°，因此当BD平分∠ABC时，PF=

1

2

PE．

解答：（1）答：△BPF∽△EBF与△BPF∽△BCD．
以△BPF∽△EBF为例，
证明：∵∠BPF=∠EBF=60°，∠BFP=∠BFE，
∴△BPF∽△EBF；

（2）答：BD平分∠ABC时，PF=

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2

PE．
证明：∵BD平分∠ABC，
∴∠ABP=∠PBF=30°．
∵∠BPF=60°，
∴∠BFP=90°．
∴PF=

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2

PB．
又∵∠BEP=∠BPF-∠EBP=60°-30°=30°=∠ABP，
∴BP=EP，
∴PF=

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2

PE．

点评：本题主要考查了等边三角形的性质、相似三角形的判定和性质、直角三角形的判定和性质等知识点．