Question

如图，已知矩形ABCD，
（1）用没有刻度的直尺和圆规分别在AD和BC上找一个点E、F，使得四边形BEDF为一个菱形（不写作法，保留作图痕迹），并给出证明．
（2）若AD=8，CD=6，求此菱形边长BE和对角线EF的长度．

Answer 1

解：（1）连接BD，作BD的垂直平分线交AD、BC与E、F，连接BE，DF即可；
∵EF是BD的垂直平分线，
∴BE=ED，BF=DF，OB=OD，∠EOD=∠FOB=90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠ADB=∠CBD，
在△EOD和△FOB中
∵，
∴△EOD≌△FOB（ASA），
∴ED=BF，
∴BE=ED=DF=BF，
∴四边形EBFD是菱形；
（2）设BE=x，则ED=x，AE=8-x，
在Rt△AEB中：
∵BE²=AE²+AB²，
∴x²=（8-x）²+6²，
解得：x=，
∴BE=，
在Rt△ADB中：
∵BD²=AB²+AD²，
∴BD==10，
∴BO=5，
∴EO===，
∴EF=．
分析：（1）连接BD，作BD的垂直平分线交AD、BC与E、F，点E、F即为所求的点；根据垂直平分线的性质可得BE=ED，BF=DF，OB=OD，∠EOD=∠FOB=90°，然后再证明△EOD≌△FOB，可证出ED=BF，进而得到BE=ED=DF=BF，故四边形EBFD是菱形；
（2）设BE=x，则ED=x，AE=8-x，在Rt△AEB中利用勾股定理可以算出x的值，再在Rt△ADB中求出BD的长，然后再次利用勾股定理可以计算出EO，根据菱形的对角线互相平分可得EF的长．
点评：此题主要考查了菱形的判定与性质，以及勾股定理的应用，关键是正确画出图形，熟练掌握菱形的判定方法．