Question

如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O与边BC交于D点，与边AC交于E点，过D作DF⊥AC于F．
（1）求证：DF是⊙O的切线；      
（2）若DE=，AB=5，求AE的长．

Answer 1

（1）证明：如图，连接OD、AD．
∵AB是直径，
∴∠ADB=90°，即AD⊥BC．
∵AB=AC，
∴AD是△ABC的中线，即D是BC的中点，
∵O是AB的中点，
∴OD是△ABC的中位线，
∴OD∥AC，
∵DF⊥AC，
∴OD⊥DF，
∴DF是⊙O的切线；

（2）解：过D作DG⊥AB，垂足为G．
由（1）知，AD是等腰△ABC底边BC的中线、高线，
∴AD平分∠BAC，
∴DE=DB=．
在Rt△ABD中，，
在Rt△ABD中，，即，
∴DG=2．
∵AD平分∠BAC，DF⊥AC，DG⊥AB，
∴DF=DG=2，
在Rt△DEF中，．
在Rt△ADF中，．
∴AE=AF-EF=3．
分析：（1）如图，连接OD、AD．欲证明DF是⊙O的切线，只需证得DF⊥OD；
（2）过D作DG⊥AB，垂足为G．根据等腰△ABC“三合一”的性质推知AD平分∠BAC，则DE=DB=．在Rt△ABD中，根据勾股定理求得AD、的长度，然后利用面积法求得
DG=2；然后由角平分线的性质证得DF=DG=2，在Rt△DEF中，．在Rt△ADF中，，所以
AE=AF-EF=3．
点评：本题考查了切线的判定与性质，要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．