Question

如图，已知点C、D在以O为圆心，AB为直径的半圆上，且OC⊥BD于点M，CF⊥AB于点F交BD于点E，BD=8，CM=2．
（1）求⊙O的半径；
（2）求证：CE=BE．

Answer 1

分析：（1）可在Rt△OBM中，用半径表示出OM，然后根据勾股定理求出半径的长；
（2）可连接BC，证∠EBC=∠ECB即可；已知的条件是由垂径定理得出的

CD

=

BC

，可有两种证法：
①连接AC，易证得∠CAB=∠BCF，然后根据上面得出的等弧，通过等量代换得出结论；
②将半圆补全，直接由垂径定理求出结果．

解答：（1）解：∵OC为⊙O的半径，OC⊥BD，
∴DM=MB=

1

2

DB；
∵DB=8，∴MB=4（1分）
设⊙O的半径为r，∵CM=2，∴OM=r-2，
在Rt△OMB中，根据勾股定理得（r-2）²+4²=r²，
解得r=5；（2分）

（2）证明：
方法一：连接AC、CB，
∵AB是直径，∴∠ACB=90°．
∴∠ACF+∠FCB=90°．
又∵CF⊥AB，∴∠CAF+∠ACF=90°
∴∠FCB=∠CAF（3分）∵OC为⊙O的半径，OC⊥BD，
∴C是

BD

的中点，∴∠CAF=∠CBD．（4分）
∴∠FCB=∠DBC．
∴CE=BE；（5分）

方法二：如图，连接BC，补全⊙O，延长CF交⊙O于点G；
又∵CF⊥AB，AB为直径，
∴

BC

=

BG

．（3分）
∴OC为⊙O的半径，OC⊥BD．
∴C是

BD

的中点，
∴

BC

=

DC

．（4分）
∴

BG

=

DC

．
∴∠FCB=∠DBC．
∴CE=BE．（5分）

点评：此题主要考查了圆周角定理、勾股定理以及垂径定理的应用．