Question

（1）如图1，等腰直角三角板的一个锐角顶点与正方形ABCD的顶点A重合，将此三角板绕点A旋转，使三角板中该锐角的两条边分别交正方形的两边BC、DC于点E、F，连结EF．猜想BE、EF、DF三条线段间的数量关系，并证明你的结论；
（2）如图2，将Rt△ABC沿斜边AC翻折得到Rt△ADC，E、F分别是BC、CD边上的点，∠EAF=

1

2

∠BAD，连结EF，试猜想BE、EF、DF三条线段之间的数量关系，并证明你的结论．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等腰直角三角形,正方形的性质

专题：

分析：（1）如图1，延长CB到Q，使BQ=DF，连接AQ就可证△ADF≌△ABQ，就有AQ=AF，∠QAB=∠DAF，再可以得出△EAQ≌△EAF，就可以得出结论EF=BE+DF；
（2）如图2，延长CB到Q，使BQ=DF，连接AQ，由轴对称的性质就可以得出△ABC≌△ADC，就可以得出AB=AD，∠ABC=∠D，进而就可以得出△ADF≌△ABQ，得出AQ=AF，得出△EAQ≌△EAF就可以得出结论EF=BE+DF．

解答：解：（1）EF=BE+DF．                     
如图1，延长CB到Q，使BQ=DF，连接AQ．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠ABC=∠D=90°．
∴∠ABQ=90°．
∴∠D=∠ABQ．
在△ADF和△ABQ中，

AD=AB ∠D=∠ABQ BQ=DF

，
∴△ADF≌△ABQ（SAS），
∴AQ=AF，∠QAB=∠DAF     
∵∠DAB=90°，∠FAE=45°
∴∠DAF+∠BAE=45°
∴∠BAE+∠BAQ=45°
即∠EAQ=∠EAF．
在△EAQ和△EAF中，

AQ=AD ∠EAQ=∠EAF  AE=AE

，
∴△EAQ≌△EAF（SAS），
∴EF=EQ=BE+BQ=BE+DF；
（2）EF=BE+DF．                       
理由：如图2，延长CB到Q，使BQ=DF，连接AQ，
∵△ABC与△ADC关于AC对称，
∴△ABC≌△ADC，
∴AB=AD，∠ABC=∠D．
∵∠ABC=90°，
∴∠ABQ=∠D=90°．
在△ADF和△ABQ中，

AD=AB ∠D=∠ABQ DF=BQ

，
∴△ADF≌△ABQ（SAS），
∴AQ=AF，∠QAB=∠DAF             
∵∠EAF=

1

2

∠BAD
∴∠DAF+∠BAE=∠EAF
∴∠BAQ+∠BAE=∠EAF
即∠EAQ=∠EAF 
在△EAQ和△EAF中，

AQ=AF ∠EAQ=∠EAF  AE=AE

，
∴△EAQ≌△EAF（SAS）
∴EF=EQ=BE+BQ=BE+DF．

点评：本题考查了正方形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，等腰直角三角形的性质的运用，轴对称的性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．