Question

（2012•贵阳）如果一条直线把一个平面图形的面积分成相等的两部分，我们把这条直线称为这个平面图形的一条面积等分线．
（1）三角形有

无数

条面积等分线，平行四边形有

无数

条面积等分线；
（2）如图①所示，在矩形中剪去一个小正方形，请画出这个图形的一条面积等分线；
（3）如图②，四边形ABCD中，AB与CD不平行，AB≠CD，且S_△ABC＜S_△ACD，过点A画出四边形ABCD的面积等分线，并写出理由．

Answer 1

分析：（1）读懂面积等分线的定义，得出三角形的面积等分线；平行四边形的一条对角线所在的直线就是平行四边形的一条面积等分线；
（2）由（1）知，矩形的一条对角线所在的直线就是矩形的一条面积等分线；
（3）能．过点B作BE∥AC交DC的延长线于点E，连接AE．根据“△ABC和△AEC的公共边AC上的高也相等”推知S_△ABC=S_△AEC；然后由“割补法”可以求得S_{四边形ABCD}=S_△ACD+S_△ABC=S_△ACD+S_△AEC=S_△AED．

解答：解：（1）在△ABC中，做BC的中线AD，在这BC上任意取一点E，并将其与顶点A相连，过中点D做它的平行线，交AC与点F，连接EF，即是△ABC的面积等分线．因为连接EF，设EF与AD交于点O，作中线后，△ABD与△ACD的面积相等，即S_{四边形ABEO}+S_△EOD=S_△AFO+S_{四边形FODC}．作平行线后，连接EF，设EF与AD交于点O，则△AOF与△EOD面积相等，那么S_{四边形ABEO}+S_△AFO=S_△EOD+S_{四边形FODC}，即S_{四边形ABEF}=S_△EFC，因此直线EF将△ABC分成了面积相等的两部分，是三角形的面积等分线．因此，按这样的做法，可以作无数条三角形的面积等分线．；对于平行四边形应该有无数条，只要过两条对角线的交点的直线都可以把平行四边形的面积分成2个相等的部分；
故答案是：无数；无数；

（2）如图①所示：连接2个矩形的对角线的交点的直线即把这个图形分成2个相等的部分．即OO′为这个图形的一条面积等分线；

（3）如图②所示．能，过点B作BE∥AC交DC的延长线于点E，连接AE．
∵BE∥AC，
∴△ABC和△AEC的公共边AC上的高也相等，
∴有S_△ABC=S_△AEC，
∴S_{四边形ABCD}=S_△ACD+S_△ABC=S_△ACD+S_△AEC=S_△AED；
∵S_△ACD＞S_△ABC，
所以面积等分线必与CD相交，取DE中点F，则直线AF即为要求作的四边形ABCD的面积等分线．

点评：本题考查了学生的阅读理解能力、运用作图工具的能力，以及运用三角形、等底等高性质等基础知识解决问题的能力都有较高的要求．还渗透了由“特殊”到“一般”的数学思想．