Question

如图，过矩形ABCD的顶点C作CE⊥BD，垂足为E，延长线EC至F，使CF=BD，这样AF交BC于G，若AB=1，BD=2，则线段GF的长是

 

．

Answer 1

考点：矩形的性质,勾股定理,等腰直角三角形

专题：

分析：连接AC，作AH⊥BD于H，作FM⊥BC，交BC延长线于M．则FM∥AB，首先证明△MGF是等腰直角三角形，再利用勾股定理求出FM的长，进而可求出GF的长．

解答：解：连接AC，作AH⊥BD于H，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABD=∠ACD，
∵AH⊥BD，EF⊥BD，
∴AH∥EF，
∴∠HAF=∠F，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD，
∵CF=BD，AC=CF，
∴∠CAF=∠F，
∴∠HAF=∠CAF，
∴∠BAF=∠DAF=45°，
作FM⊥BC，交BC延长线于M．则FM∥AB，
∵∠BAF=45°，
∴∠GFM=45°，
∴△MGF是等腰直角三角形，
∴FM=BC=

22-12

=

3

，
∴GF=

2

FM=

6

，
故答案为：

6

．

点评：本题考查了矩形的性质、平行线的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质以及勾股定理的运用，题目的综合性较强，难度较大，解题的关键是添加辅助线，构造直角三角形．