Question

已知：在⊙O中，AB是直径，AC是弦，OE⊥AC于点E，过点C作直线FC，使∠FCA=∠AOE，交AB的延长线于点D．
（1）求证：FD是⊙O的切线；
（2）若⊙O半径的长为6，CA=CD，求图中阴影部分的面积．

Answer 1

分析：（1）连接OC．欲证FD是⊙O的切线，只需证明OC⊥CD即可；
（2）图中S_阴影=S_△OCD-S_扇形OBC．分别求出三角形的面积和扇形的面积即可．

解答：（1）证明：连接OC；
∵OA=OC，OE⊥AC，
∴∠AOE=∠COE，∠AOE+∠ECO=90°；
又∵∠FCA=∠AOE，
∴∠FCA+∠ECO=90°，即OC⊥FC；
∵OC是⊙O的半径，点C在⊙O上，
∴FD是⊙O的切线；

（2）解：连接BC；
∵OA=OC，
∴∠CAO=∠ACO，
∴∠COD=2∠A，
又∵AC=CD，
∴∠A=∠D，
∴∠D+∠COD=3∠A=90°，
∴∠A=30°，
∴∠COB=60°；
∵在Rt△OCD中，CD=OC•tan60°=6

3

，
∴S_阴影=S_△OCD-S_扇形OBC=

1

2

×6×6

3

-

60π×62

360

=18

3

-6π．

点评：本题利用了等边对等角，切线的性质及概念，等边三角形的判定和性质，三角形和扇形的面积公式求解．