Question

如图，已知反比例函数y=

k

x

（x＞O，k是常数）的图象经过点A和点B的横坐标大于点A的横坐标，AM⊥X轴，垂足为M，BN⊥y轴，垂足为N，AM与BN相交于点C
（1）若点A的纵坐标为6，点B的横坐标为3，AC=2CM，求反比例函数的解析式；
（2）求证：AB∥MN．

Answer 1

考点：反比例函数综合题

专题：

分析：（1）根据已知求得CM=2，进而求得B的坐标，代入y=

k

x

（x＞O，k是常数）即可求得k的值，从而求得反比例函数的解析式；
（2）把A点纵坐标代入（1）求得的解析式即可求得A的坐标，根据A、B两点坐标可得AC=4，BC=2，ON=2，OM=1，则

ON

OM

=

AC

BC

=

1

2

，再由∠ACB=∠NOM=90°，可得△ACB∽△NOM，得出∠OMN=∠ABC，进而求得∠MNC=∠ABC，即可证得结论．

解答：解：（1）∵点A的纵坐标为6，AC=2CM，AM⊥X轴，
∴CM=2，
∵BN⊥y轴，
∴BN∥x轴，
∴B（3，2），
∵反比例函数y=

k

x

（x＞O，k是常数）的图象经过点B，
∴k=6，
∴反比例函数解析式为y=

6

x

；

（2）∵点A的纵坐标为6，且反比例函数y=

6

x

的图象经过点A，
∴x=1，
∴A（1，6），
∴BC=3-1=2，AC=6-2=4，
∵

ON

OM

=

AC

BC

=

1

2

，∠MON=∠ACB=90°，
∴△ACB∽△NOM；
∴∠OMN=∠ABC，
∵BN⊥y轴，∠MON=90°，
∴BN∥OM，
∴∠OMN=∠MNC，
∴∠MNC=∠ABC，
∴AB∥MN．

点评：此题反比例函数的综合应用，考查了待定系数法求解析式，三角形相似的判定和性质，平行线的判定和性质等，关键是掌握凡是函数图象经过的点，必然能使函数解析式左右相等．