Question

如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，M是AD的中点，BC=8，MB=5
（1）判断△MBC的形状，并说明理由
（2）若点P，Q分别是线段BC，BM上的动点（点P与点B，C均不重合），且∠MPQ=∠MCB，设BP=x，QM=y，求y与x的关系式及x的取值范围，判断y是否存在最大（或最小）值？若存在，求出其值，并判断此时△MQP的形状；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：等腰梯形的性质

专题：动点型

分析：（1）根据四边形ABCD是等腰梯形，得到AB=DC，∠A=∠D，然后根据M是AD中点，得到AM=MD，从而证得△ABM≌△DCM，得到MB=MC，证得△BMC是等腰三角形；
（2）证得△BPQ∽△CMP，利用相似三角形的性质得到

QB

PC

=

BP

MC

，从而得到（5-y）：（8-x）=x：5，整理配方得到y=（x-4）²+

9

5

，从而确定最值．

解答：解：（1）△BMC是等腰三角形；
证明：∵四边形ABCD是等腰梯形，
∴AB=DC，∠A=∠D，
又∵M是AD中点，
∴AM=MD，
在△ABM和△DCM中，

AB=DC ∠A=∠D AM=MD

，
∴△ABM≌△DCM（SAS），
∴MB=MC，
∴△BMC是等腰三角形；

（2）由（1）知，∠MBC=∠MCB，
∵∠MPQ=∠MCB，
∴∠MBC=∠MPQ，
∵∠MBC+∠BQP=∠MPQ+∠MPC（∠MPQ+∠MPC=∠CPQ是三角形外角），
∴∠BQP=∠MPC，
∴△BPQ∽△CMP，
∴

QB

PC

=

BP

MC

，
得（5-y）：（8-x）=x：5，
整理得：y=

1

5

x²-

8

5

x+5（0＜x＜8），
配方：y=（x-4）²+

9

5

，
∴当x=4时，y最小=

9

5

．
此时BP=PC=4，
∴MP⊥BC，即∠MPC=90°，
∴∠BQP=90°，
∴∠MQP=90°，
即△MQP为直角三角形．

点评：本题考查了等腰梯形的性质，解题的关键是了解等腰三角形的腰、底角等性质，解题时要注意数形结合的数学思想的应用，难度不大．