Question

在梯形ABCD中，CD∥AB，∠DAB=∠B=30°，CD=2

3

，AB=6

3

，AD=BC=4，点P是腰BC上一动点（不与B、C重合），如果设BP=x，△ABP的面积为y．
（1）求y关于x的函数解析式，并写出定义域．
（2）如果四边形APCD的面积为3

3

，求BP的长．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,函数关系式,梯形

专题：

分析：（1）根据30°角的直角三角形的性质求得PF=

1

2

BP=

1

2

x，然后根据三角形面积公式即可求得y关于x的函数解析式．
（2）根据30°角的直角三角形的性质求得CE=

1

2

BC=

1

2

×4=2，然后根据S_梯形ABCD=S_{四边形APCD}+S_△ABP得到关于x的方程，解方程即可求得BP的长．

解答：解：（1）如图，作PF⊥AB于F，
∵∠B=30°，
∴PF=

1

2

BP=

1

2

x，
∴△ABP的面积=

1

2

AB•PF，
即y=

1

2

×6

3

×

1

2

x=

3 3

2

x（0＜x＜4）．
（2）作CE⊥AB于E，
∵∠B=30°，
∴CE=

1

2

BC=

1

2

×4=2，
∵S_梯形ABCD=S_{四边形APCD}+S_△ABP，四边形APCD的面积为3

3

，
∴

1

2

（2

3

+6

3

）×2=3

3

+

3 3

2

x，
解得x=

10

3

，
∴BP的长为

10

3

．

点评：本题考查了30°角的直角三角形的性质，三角形的面积以及梯形的面积，作出辅助线关键直角三角形是解题的关键．