【题目】如图,抛物线与坐标轴交于点
,点
和点
,连接
.
(1)求抛物线的解析式;
(2)如图,已知点在线段
的上方(不包括点
和点
),过
点作
轴的垂线交直线
于点
,求线段
的最大值;
(3)该抛物线上是否存在点,使得
?若存在,求点
的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】(1);(2)当
时,
有最大值,最大值为
;(3)存在,点
的坐标为
、
、
或
.
【解析】
(1)把,点
和点
代入抛物线解析式
组成三元一次方程组,解方程组,即可得抛物线的系数a、b、c的值,代入抛物线解析式即可.
(2)因为点P在抛物线上,所以设,而
的直线方程为
,所以
,所以
,利用二次函数性质求得PE的最大值为;
(3)过点作
于点
,过点
作
轴于点
,由题意求得
,再根据相似三角形的性质可得
,
,进而证出
是等腰直角三角
,从而求得
,设
,①当
或
时,点
在点
左侧或在
之间,横纵坐标均为负数,
,
,所以
,列方程解即可得P的坐标;②当
或
时,点
在
之间或在点
右侧,横纵坐标异号
,列方程即可得P点的坐标;
(1)∵抛物线与轴交于点
,点
,与y轴交于点
∴
∴
∴抛物线解析式为
(2)设,
的直线方程为
∴,∴
当时,
有最大值,最大值为
(3)如图1,过点作
于点
,过点
作
轴于点
∴
∵
∴
∴
∴
∵,
∴,
∴是等腰直角三角形∴
∴
∴
∴
设
①当或
时,点
在点
左侧或在
之间,横纵坐标均为负数
∴,
∴
解得:,,
或
②当或
时,点
在
之间或在点
右侧,横纵坐标异号
∴
解得:,
∴或
综上所述,点的坐标为
、
、
或
.
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【题目】某学校为了解九年级的600名学生每天的自主学习情况,随机抽查了九年级的部分学生,并调查他们每天自主学习的时间.根据调查结果,制作了两副不完整的统计图(图1图2),请根据统计图中的信息回答下列问题:
(1)本次调查的学生人数是 人;
(2)图2中角是 度;
(3)将图1条形统计图补充完整;
(4)估算该校九年级学生自主学习不少于1.5小时有多少人.
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【题目】下表记录了甲、乙、丙、丁四名同学最近几次数学考试成绩的平均数与方差.根据表中数据,要从中选择一名成绩好且发挥稳定的同学参加数学竞赛,应该选择__________(填“甲”, “乙”, “丙”, “丁”).
甲 | 乙 | 丙 | 丁 | |
平均数(分) | 92 | 95 | 95 | 92 |
方差 | 3.6 | 3.6 | 7.4 | 8.1 |
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【题目】如图,在菱形ABCD中,AB=5cm,BD=8cm.点P从点B出发,沿BA方向匀速运动,速度为;同时,点Q从点D出发,沿DA方向匀速运动,速度为1cm/s.过点P作PN∥BC分别交BD,CD于点M,N,连接QM,QN.设运动时间为
.解答下列问题:
(1)当为何值时,点
在线段
的垂直平分线上?
(2)设的面积为
,求
与
的函数关系式;
(3)在运动过程中,是否存在某一时刻,使
的面积为菱形
面积的
,若存在,求出
的值;若不存在,请说明理由;
(4)是否存在某一时刻,使
为等腰三角形?若存在,请直接写出
的值;若不存在,请说明理由.
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【题目】如图,E为圆O上的一点,C为劣弧EB的中点.CD切于点C,交
的直径AB的延长线于点D.延长线段AE和线段BC,使之交于点F.
(1)求证:和
都是等腰三角形;
(3)若,
,求EF的长.
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【题目】某超市计划购进一批A、B两种规格的端午节礼盘进行销售,进价和售价如下表所示:
端午节礼盘规格 | A | B |
进价(元/盘) | 80 | 100 |
售价(元/盘) | 120 | 160 |
若购进两种规格的端午节礼盒共300盒,且投入资金不超过26800元.
(1)该超市应购进A规格端午节礼盒至少多少盒?
(2)若超市购进A规格端午节礼盒的进价每盒降低a元,并保持这两个规格的端午节礼盒的售价不变,且最多购进240盒A规格端午节礼盒.如果这批端午节礼盒售出后,超市刚好获利18480元,求a的取值范围.
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【题目】如图,在△ABC中,D是AC边上的中点,连结BD,把△BDC′沿BD翻折,得到△,DC与AB交于点E,连结
,若AD=AC′=2,BD=3则点D到BC的距离为( )
A.B.
C.
D.
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【题目】钟南山院士谈到防护新型冠状病毒肺炎时说:“我们需要重视防护,但也不必恐慌,尽量少去人员密集的场所,出门戴口罩,在室内注意通风,勤洗手,多运动,少熬夜.”某学校为了了解学生对新型冠状病毒肺炎防护知识的掌握情况,随机抽取若干名同学利用网络进行了“新冠状病毒肺炎防疫知识”问卷测试.根据测试成绩分布情况,他们将全部测试成绩分成、
、
、
四组,绘制了如下统计图表:
“新冠状病毒肺炎防疫知识”问卷测试成绩统计表
组别 | 分数/分 | 频数 | 各组总分/分 |
38 | 2581 | ||
5543 | |||
60 | 5100 | ||
30 | 2796 |
依据以上统计信息,解答下列问题:
(1)求得 ,
;
(2)这次测试成绩的中位数落在 组;
(3)求本次全部测试成绩的平均数.
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