Question

9．如图，抛物线y=x²+bx+c与x轴交于点A和点B（3，0），与y轴交于点C（0，3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点M是抛物线在x轴下方上的动点，过点M作MN∥y轴交直线BC于点N，求线段MN的最大值；
（3）在（2）的条件下，当MN取得最大值时，在抛物线的对称轴l上是否存在点P，使△PBN是等腰三角形？若存在，请直接写出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由点B、C的坐标利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；
（2）设出点M的坐标以及直线BC的解析式，由点B、C的坐标利用待定系数法即可求出直线BC的解析式，结合点M的坐标即可得出点N的坐标，由此即可得出线段MN的长度关于m的函数关系式，再结合点M在x轴下方可找出m的取值范围，利用二次函数的性质即可解决最值问题；
（3）假设存在，设出点P的坐标为（2，n），结合（2）的结论可求出点N的坐标，结合点N、B的坐标利用两点间的距离公式求出线段PN、PB、BN的长度，根据等腰三角形的性质分类讨论即可求出n值，从而得出点P的坐标．

解答 解：（1）将点B（3，0）、C（0，3）代入抛物线y=x²+bx+c中，
得：$\left\{\begin{array}{l}{0=9+3b+c}\\{3=c}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{b=-4}\\{c=3}\end{array}\right.$，
∴抛物线的解析式为y=x²-4x+3．
（2）设点M的坐标为（m，m²-4m+3），设直线BC的解析式为y=kx+3，
把点点B（3，0）代入y=kx+3中，
得：0=3k+3，解得：k=-1，
∴直线BC的解析式为y=-x+3．
∵MN∥y轴，
∴点N的坐标为（m，-m+3）．
∵抛物线的解析式为y=x²-4x+3=（x-2）²-1，
∴抛物线的对称轴为x=2，
∴点（1，0）在抛物线的图象上，
∴1＜m＜3．
∵线段MN=-m+3-（m²-4m+3）=-m²+3m=-$（m-\frac{3}{2}）^{2}$+$\frac{9}{4}$，
∴当m=$\frac{3}{2}$时，线段MN取最大值，最大值为$\frac{9}{4}$．
（3）假设存在．设点P的坐标为（2，n）．
当m=$\frac{3}{2}$时，点N的坐标为（$\frac{3}{2}$，$\frac{3}{2}$），
∴PB=$\sqrt{（2-3）^{2}+（n-0）^{2}}$=$\sqrt{1+{n}^{2}}$，PN=$\sqrt{（2-\frac{3}{2}）^{2}+（n-\frac{3}{2}）^{2}}$，BN=$\sqrt{（3-\frac{3}{2}）^{2}+（0-\frac{3}{2}）^{2}}$=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$．
△PBN为等腰三角形分三种情况：
①当PB=PN时，即$\sqrt{1+{n}^{2}}$=$\sqrt{（2-\frac{3}{2}）^{2}+（n-\frac{3}{2}）^{2}}$，
解得：n=$\frac{1}{2}$，
此时点P的坐标为（2，$\frac{1}{2}$）；
②当PB=BN时，即$\sqrt{1+{n}^{2}}$=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
解得：n=±$\frac{\sqrt{14}}{2}$，
此时点P的坐标为（2，-$\frac{\sqrt{14}}{2}$）或（2，$\frac{\sqrt{14}}{2}$）；
③当PN=BN时，即$\sqrt{（2-\frac{3}{2}）^{2}+（n-\frac{3}{2}）^{2}}$=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
解得：n=$\frac{3±\sqrt{17}}{2}$，
此时点P的坐标为（2，$\frac{3-\sqrt{17}}{2}$）或（2，$\frac{3+\sqrt{17}}{2}$）．
综上可知：在抛物线的对称轴l上存在点P，使△PBN是等腰三角形，点P的坐标为（2，$\frac{1}{2}$）、（2，-$\frac{\sqrt{14}}{2}$）、（2，$\frac{\sqrt{14}}{2}$）、（2，$\frac{3-\sqrt{17}}{2}$）或（2，$\frac{3+\sqrt{17}}{2}$）．

点评 本题考查了待定系数法求函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、两点间的距离以及等腰三角形的性质，解题的关键是：（1）利用待定系数法求出函数解析式；（2）利用二次函数的性质解决最值问题；（3）分类讨论．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，利用配方法将二次函数解析式变形为顶点式，再结合二次函数的性质解决最值问题是关键．