Question

20．如图，在直角坐标系xOy中，直线y=$\frac{1}{2}$x+2与x轴，y轴分别交于A，B两点，以AB为边在第二象限内作矩形ABCD，使AD=$\sqrt{5}$．
（1）求点A，点B的坐标，
（2）过点D作DH⊥x轴，垂足为H，求证：△ADH∽△BAO；
（3）求点D的坐标．

Answer 1

分析 （1）将y=0，x=0分别代入直线的解析式，然后解得x、y的值，从而可求得点A、B的坐标；
（2）由题意可知：∠DAH+∠BAO=90°，∠BAO+∠ABO=90°，从而可证明∠DAH=∠ABO，又因为∠DHA=∠BOA=90°，故此△ADH∽△BAO；
（3）先由勾股定理求得AB的长，然后利用相似三角形的性质可求得HD、AH的长，从而可求得点D的坐标．

解答 解：（1）将y=0代入直线y=$\frac{1}{2}$x+2得；$\frac{1}{2}x+2=0$，
解得：x=-4．
∴点A的坐标为（-4，0）．
将x=0代入直线y=$\frac{1}{2}$x+2得；y=2，
∴点B的坐标为（0，2）．
（2）∵∠BAD=90°，
∴∠DAH+∠BAO=90°．
∵∠BAO+∠ABO=90°，
∴∠DAH=∠ABO．
又∵∠DHA=∠BOA=90°，
∴△ADH∽△BAO．
（3）在Rt△AOB中，AB=$\sqrt{O{A}^{2}+O{B}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{5}$．
又∵△ADH∽△BAO，
∴$\frac{DH}{AO}=\frac{AH}{BO}=\frac{AD}{AB}$，即$\frac{DH}{4}=\frac{AH}{2}=\frac{\sqrt{5}}{2\sqrt{5}}$．
∴DH=2，AH=1．
∴点D的坐标为（-5，2）．

点评 本题主要考查的是相似三角形的性质和判定、一次函数与坐标轴的交点、勾股定理的应用，利用相似三角形的性质求得HD、AH的长度是解题的关键．