Question

7．定义：如果三角形某一边上的中线长恰好等于这边的长，那么称这个三角形为“好玩三角形”
（1）如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，tanA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，求证：△ABC是“好玩三角形”；
（2）如图2，若等腰△DEF是“好玩三角形”，DF=EF，求腰和底的比值．

Answer 1

分析 （1）取AC的中点D，连接BD，设BC=$\sqrt{3}$x，根据条件可以求出AC=2x，由三角函数可以求出BD=2x，从而得出AC=BD，从而得出结论；
（2）如图2，取DE的中点G，连接FG，则由“好玩三角形”的定义得到FG=DE，则由勾股定理可以求得FD的长度，然后求腰和底的比值即可．

解答 （1）证明：如图1，取AC的中点D，连接BD，
∵∠C=90°，tanA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴$\frac{BC}{AC}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴设BC=$\sqrt{3}$x，则AC=2x，
∵D是AC的中点，
∴CD=$\frac{1}{2}$AC=x
∴BD=$\sqrt{C{D}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{3{x}^{2}+{x}^{2}}$=2x，
∴AC=BD，
∴△ABC是“好玩三角形”；

（2）①如图2，取DE的中点G，连接FG，则FG=DE．
∵DF=EF，
∴DG=$\frac{1}{2}$DE=$\frac{1}{2}$FG，FG⊥DE，
在直角△FDG中，由勾股定理得到：FD=$\sqrt{D{G}^{2}+F{G}^{2}}$=$\sqrt{5}$DG，
∴$\frac{FD}{DE}$=$\frac{\sqrt{5}DG}{2DG}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，即腰和底的比值是$\frac{\sqrt{5}}{2}$．
②取EF的中点M，连接DM，由题意知DM=EF=DF，作DH垂直EF于H，则FH=MH，设FH=MH=1，则ME=2，DF=4，
在Rt△DFH中，根据勾股定理得：DH²=15，
在Rt△DEH中，根据勾股定理得：DE=2$\sqrt{6}$，从而可得腰与底的比为：$\sqrt{6}$：3．
综上所述，腰和底的比值是$\frac{\sqrt{5}}{2}$或$\frac{\sqrt{6}}{3}$．

点评 本题考查了勾股定理的运用，等腰直角三角形的性质的运用，等腰三角形的性质的运用，锐角三角形函数值的运用，解答时灵活运用三角函数值建立方程求解是解答的关键．