Question

14．如图，AB是半圆的直径，点C是弧AB的中点，点E是弧BC的中点，连结AE、BC交于点F，则$\frac{EF}{AF}$的值为$\frac{\sqrt{2}-1}{2}$．

Answer 1

分析 利用已知首先判断△ACF∽△EHF，进而得出答案．

解答 解：如图，设圆心为O，连接OC，AC，OE交BC于点H，
∵点E是弧BC的中点，
∴OE⊥BC，
∵AB是半圆的直径，
∴AC⊥BC
∴EH∥AC，
∴△ACF∽△EHF，
∴$\frac{EF}{AF}=\frac{EH}{AC}$，
∵点C是弧AB的中点，
∴△ABC是等腰直角三角形，
设AC=2x，则OE=OB=$\sqrt{2}$x，
∴OH=x，EH=（$\sqrt{2}$-1）x，
∴$\frac{EF}{AF}=\frac{EH}{AC}$=$\frac{\sqrt{2}-1}{2}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{2}-1}{2}$．

点评 此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及圆周角定理，正确利用圆周角定理得出对应角相等是解题关键．