Question

如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BA=BC，D为AB的中点，连接CD，过点B作BG⊥CD，分别交CD、CA于点E、F，与过点A且垂直于AB的直线相交于点G，连结DF．
（1）求证：AG=AD；
（2）若AB=3，求AF的长及S_△BDF．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）易证∠BCD=∠ABG，即可证明△BCD和≌△ABG，可得BD=AG，根据D是AB中点即可解题；
（2）作FH⊥AB，易证∠CAB=45°和tan∠ABG的值，即可求得AH，FH，BH的大小关系即可求得FH的长，根据勾股定理即可求得AF的长，根据三角形面积计算公式即可求得S_△BDF，即可解题．

解答：（1）证明：∵∠BCD+∠BDC=90°，∠ABG+∠BDC=90°，
∴∠BCD=∠ABG，
在△BCD和△ABG中，

∠BCD=∠ABG BC=BA ∠DBC=∠BAG=90°

，
∴△BCD和≌△ABG（ASA），
∴BD=AG，
∵AD=BD，
∴AD=AG；
（2）作FH⊥AB，

∵∠CAB=45°，tan∠ABG=tan∠BCD=

1

2

，
∴AH=FH，tan∠ABG=

1

2

=

FH

BH

，即BH=2FH，
∵AB=AH+BH，
∴AB=FH+2FH=3FH=3，
∴FH=1，
∴AF=

AH2+FH2

=

2

，
S_△BDF=

1

2

BD•FH=

3

4

．

点评：本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，考查了勾股定理在直角三角形中运用，本题中求证△BCD和≌△ABG是解题的关键．