【题目】将正方形 ABCD （如图 1）作如下划分：
第1次划分：分别连接正方形ABCD对边的中点（如图2），得线段HF和EG，它们交于点M，此时图2中共有5个正方形；
第2次划分：将图2 左上角正方形AEMH再作划分，得图3，则图3 中共有9个正方形；
（1）若每次都把左上角的正方形依次划分下去，则第100次划分后，图中共有 个正方形；
（2）继续划分下去，第几次划分后能有805个正方形?写出计算过程．
（3）按这种方法能否将正方形ABCD划分成有2015个正方形的图形？如果能，请算出是第几次划分，如果不能，需说明理由．
（4）如果设原正方形的边长为1，通过不断地分割该面积为1的正方形，并把数量关系和几何图形巧妙地结合起来，可以很容易得到一些计算结果，试着探究求出下面表达式的结果吧．
计算 
．（ 直接写出答案即可）
【答案】（1）401；（2）第 201 次划分后能有 805个正方形；（3）不能；（4）
【解析】
（1）由第一次可得5个正方形，第二次可得9个正方形，第三次可得13个正方形，可得规律：第n次可得（4n＋1）个正方形，继而求得答案；
（2）由规律可得方程4n＋1＝805，继而求得答案；
（3）由规律可得4n＋1＝2015，又由n为整数，可求得答案；
（4）此题可看作上面几何体面积问题，即可求得答案．
（1）∵第一次可得5个正方形，第二次可得9个正方形，第三次可得13个正方形，
∴第n次可得（4n＋1）个正方形，
∴第100次可得正方形：4×100＋1＝401（个）；
故答案为：401；
（2）根据题意得：4n＋1＝805，
解得：n＝201；
∴第201次划分后能有805个正方形；
（3）不能，
∵4n＋1＝2015，
解得：n＝503.5，
∴n不是整数，
∴不能将正方形性ABCD划分成有2015个正方形的图形；
（4）结合题意得：
＝
＝
＝．
状元坊全程突破导练测系列答案科目：初中数学 来源： 题型：
【题目】如图1，已知∠DAC=90°，△ABC是等边三角形，点P为射线AD上任意一点（点P与点A不重合），连结CP，将线段CP绕点C顺时针旋转60°得到线段CQ，连结QB并延长交直线AD于点E．
（1）如图1，猜想∠QEP= °；
（2）如图2，3，若当∠DAC是锐角或钝角时，其它条件不变，猜想∠QEP的度数，选取一种情况加以证明；
（3）如图3，若∠DAC=135°，∠ACP=15°，且AC=4，求BQ的长．
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【题目】如图：是某月份的月历表，请你认真观察月历表，回答以下问题：
（1）如果圈出同一行的三个数，用a表示中间的数，则第一个数，第三个数怎样表示？
（2）如果圈出同一列的三个数，用a表示中间的数，则第一个数，第三个数怎样表示？
（3）如果圈出如图所示的任意9个数，这9个数的和可能是207吗？如果可能，请求出这9个数；如果不可能，请说明理由.
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科目：初中数学 来源： 题型：
【题目】如图所示，
中，
是
边上一点，
是
的中点，过点
作的平行线交
的延长线于
，且
，连接
．
（1）求证：是的中点；
（2）若
，试判断四边形
的形状，并证明你的结论．
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【题目】如图，反比例函数y＝
的图象与一次函数y＝
x的图象交于点A、B，点B的横坐标是4．点P是第一象限内反比例函数图象上的动点，且在直线AB的上方．
（1）若点P的坐标是（1，4），直接写出k的值和△PAB的面积；
（2）设直线PA、PB与x轴分别交于点M、N，求证：△PMN是等腰三角形；
（3）设点Q是反比例函数图象上位于P、B之间的动点（与点P、B不重合），连接AQ、BQ，比较∠PAQ与∠PBQ的大小，并说明理由．
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【题目】某地区教育部门为了解初中数学课堂中学生参与情况，并按“主动质疑、独立思考、专注听讲、讲解题目”四个项目进行评价．检测小组随机抽查部分学校若干名学生，并将抽查学生的课堂参与情况绘制成如图所示的扇形统计图和条形统计图（均不完整）．请根据统计图中的信息解答下列问题：
（1）本次抽查的样本容量是 ；
（2）在扇形统计图中，“主动质疑”对应的圆心角为 度；
（3）将条形统计图补充完整；
（4）如果该地区初中学生共有60000名，那么在课堂中能“独立思考”的学生约有多少人？
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【题目】小知识：如图，我们称两臂长度相等（即
）的圆规为等臂圆规. 当等臂圆规的两脚摆放在一条直线上时，若张角
，则底角
.
请运用上述知识解决问题：
如图，
个相同规格的等臂圆规的两脚依次摆放在同一条直线上，其张角度数变化如下：
，
， 
，
，…
(1)、①由题意可得
= ；
②若
平分
，则
= ；
(2)、
= （用含
的代数式表示）；
(3)、当
时，设
的度数为
，
的角平分线
与
构成的角的度数为
，那么与之间的等量关系是 ，请说明理由. （提示：可以借助下面的局部示意图）
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【题目】喜迎新年,某社区超市第一次用5000元购进甲、乙两种商品,其中甲商品件数是品的件数的2倍,甲、乙两种商品的进价和售价如下表:
甲 | 乙 | |
进价（元/件） | 15 | 20 |
售价（元/件） | 30 | 30 |
（1）该超市将第一次购进的甲、乙两种商品全部卖完后一共可获得多少利润?
（2）能市第二次以第一次的进价又购进甲、乙两种商品,其中购进乙种商品的件数不变，购进甲种商品的件数是第一次购进甲种商品件数的2倍;乙商品按原价销售,甲商品打折销售，第二次两种商品都销售完以后获得的总利润比第一次获得的总利润多600元，求第二次甲种商品按原价打几折销售?
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科目：初中数学 来源： 题型：
【题目】我们约定：对角线相等的四边形称之为：“等线四边形”。
（1）①在“平行四边形、菱形、矩形、正方形”中一定是“等线四边形”的是___________________；
②如图1，若四边形
是“等线四边形”， 
分别是边
的中点，依次连接，得到四边形
，请判断四边形的形状：______________________；
（2）如图2，在平面直角坐标系
中，已知
，以
为直径作圆，该圆与
轴的正半轴交于点
，若
为坐标系中一动点，且四边形
为“等线四边形”。当
的长度最短时，求经过
三点的抛物线的解析式；
（3）如图3，在平面直角坐标系中，四边形是“等线四边形”， 
在
轴的负半轴上，
在轴的负半轴上，且
。点
分别是一次函数
与轴，轴的交点，动点
从点开始沿轴的正方向运动，运动的速度为2个单位长度/秒，设运动的时间为
秒，以点为圆心，半径
，单位长度作圆，问：①当
与直线
初次相切时，求此时运动的时间
；②当运动的时间满足
且
时，与直线相交于
，求弦长
的最大值。
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