Question

如图，在△ABC中，D、E分别为BC、AC的中点，AD、BE相交于P，若∠BPD=∠C，求证：以△ABC三条中线为边构成的三角形与△ABC相似．

Answer 1

证明：延长PD至F，使PD=DF，连接BF，FC，PC，DE，

则四边形BFCP为平行四边形，
∵∠BPD=∠C，∴△BPD∽△BCE，
∴=，
∴△BPC∽△BDE，
∴∠PCB=∠DEB，∠1=∠2，
∴∠PCF=∠ABC，
而∠PFC=∠BPD=∠ACB，
∴△PCF∽△ABC，
而△PCF各边长为△ABC中线长的，
故△PCF与以△ABC三条中线为边所构成的三角形相似．
分析：由于点P为BC、AC两边中线的交点，可延长PD至F，使PD=DF，得四边形BFCP为平行四边形，则平行四边形的各边均涉及三角形的中线，进而求证由中线围成的三角形与△ABC相似即可．
点评：本题主要考查了平行四边形的性质以及相似三角形的判定及性质问题，能够利用其性质求解一些证明、计算问题．