Question

将两块全等的含30°的直角三角尺按如图1摆放在一起，设较短的直角边为1
（1）四边形ABCD是平行四边形吗？说出你的结论和理由：
（2）如图2，Rt△BCD沿射线BD方向平移到Rt△B₁C₁D₁的位置，问四边形ABC₁D₁是平行四边形吗？说出你的结论和理由：
（3）如图3，在将Rt△BCD沿射线BD方向平移的过程中，当点B的移动距离为

 

时，四边形ABC₁D₁为菱形，其理由是

 

：
（4）如图4，在将Rt△BCD沿射线BD方向平移的过程中，四边形ABC₁D₁恰好为矩形，设点B移动的距离等于x，则x²=

 

．

Answer 1

分析：（1）由于图中摆放的两个三角形是全等三角形，那么∠ABD=∠CDB、∠ADB=∠CBD，由此得四边形ABCD的两组对边分别平行，由此可判定四边形ABCD是平行四边形．
（2）可按照（1）的思路进行求解；那么就需要证出BC₁∥AD₁，即∠AD₁B=∠C₁BD₁，观察图形，证△BB₁C₁≌△D₁DA即可．
（3）若平行四边形ABC₁D₁是菱形，那么边AB=BC₁，即此时△ABD≌△C₁BB₁，那么BB₁=BD，即D、B₁重合，此时B点移动的距离为BD的长，即

3

．
（4）若平行四边形ABC₁D₁恰好为矩形，那么∠ABC₁必为直角，即∠C₁BB₁=60°，在Rt△C₁BB₁中，已知了B₁C₁的长，根据直角三角形的性质即可求得BB₁的长，即x的值，进而可得x²的值．

解答：解：（1）四边形ABCD是平行四边形；
理由：由于△ABD、△BCD是全等三角形，故∠ABD=∠CDB，∠ADB=∠CBD，即AB∥CD、BC∥AD；
因为两组对边分别平行的四边形是平行四边形，所以四边形ABCD是平行四边形．

（2）四边形ABC₁D₁是平行四边形；
证明：由题意知：B₁C₁=AD，BB₁=DD₁，∠BB₁C₁=∠ADD₁=90°，
∴△ADD₁≌△C₁B₁B，
∴∠AD₁B=∠C₁BD，即BC₁∥AD₁；
易知：∠ABD=∠C₁D₁B，即AB∥C₁D₁，
∴四边形ABC₁D₁是平行四边形．

（3）若平行四边形ABC₁D₁为菱形，则AB=BC₁，
又∵B₁C₁=AD，∠BB₁C₁=∠ADB=90°，
∴△BC₁B₁≌△BAD，得BB₁=BD，即B₁、D重合；
易知BD=

3

，所以若四边形ABC₁D₁为菱形，点B需要移动

3

个单位长度；
理由是：一组邻边相等的平行四边形是菱形．

（4）若平行四边形ABC₁D₁为矩形，则∠ABC₁=90°，∠B₁BC₁=60°；
Rt△BB₁C₁中，B₁C₁=1，若∠B₁BC₁=60°，则BB₁=

3

3

；
故x²=(

3

3

)2=

1

3

．

点评：此题主要考查了全等三角形的性质，平行四边形、菱形和矩形的判定等知识，难度不大．